量子力学教程第三讲.ppt

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1、第三讲第二章2.3薛定谔方程TheSchrödingerequation11.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间演化的规律SchrÖdinger方程。2.掌握定态及其性质。学习内容重点重点难点2§2－3薛定谔方程（S.E）§2-3薛定谔方程经典力学:量子力学:③知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态①描述经典粒子状态用坐标与动量②遵从牛顿定律③知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态①描述微观粒子状态用波函数②遵从什么定律？薛定谔方程④对经典粒子的描述是决定性结果④对微观粒子的描述是统计性结果3一、建立薛定谔方程的两个条件建立的薛定谔方程就是描述波函数随时间的变化方

2、程1.方程应是线性微分方程这是态迭加原理的要求。按照该原理，若ψ1，ψ1方程的解，那么ａψ1+bψ2也应该是方程的解。这是一种线性迭加，只有线性方程才能满足该方程。所以要求方程是线性方程。2.这个方程的系数不应包括状态参量（如动量、能量）因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被所有状态所满足。4二、薛定谔方程的建立（这里用了建立，而不用推导。Why?参赵敏光《配位场理论》P4）1．方法：先建立自由粒子方程，然后推广到一般情况2．建立自由粒子薛定谔方程自由粒子的波函数是它应是所要建立的方程的解,因此：对时间求导5这不是我们要求的方程，虽是线性的，但方

3、程中含有状态参量Ｅ（能量）。6同理(1)+(2)+(3)，得（仍含参量P2）7由(5)和(6)式得：该方程即自由粒子的薛定谔方程89101112由此可以看出－动量算符＋能量算符＋坐标算符注:这是坐标表象中表示三个基本算符1314上式即单粒子的薛定谔方程（薛定谔1926年建立）15单粒子方程可以推广到多粒子体系：即多粒子体系的薛定谔方程：①薛定谔是方程是量子力学的基本方程（基本　　　假设），我们上面用了“建立”二字，是建立　方程，不是用基本假设推导方程。②薛氏方程的正确性由实验验证。③它在量子力学中的地位相当牛顿定律在经典力学中的地位。(h进入方程，)Discussion：16小结注

4、意（1）Schrödinger作为一个基本假设提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实。（2）Schrödinger方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。17§2-4几率流密度和几率守恒定律一、粒子在空间出现的几率随t的变化规律由薛氏方程18将（2)(3)代入(1)式,得19这个方程具有连续性方程形式，即几率密度随t的变化规律。它与流体力学中连续性方程形式一样。这个方程也叫几率守恒定律的微分形式。20将(4)式在任一空间体积V积分由矢量分析中高斯定理表示空间Ｖ中找到粒子的几率随时间的变化表示单位时间内通过封闭曲面S而流入V的几率Ｖ21

5、（可与电流密度比较，电磁学P180，梁灿彬著）注：若波函数是实数，则几率流密度为零。22结论：单位时间内V中增加几率应等于从体积V外穿过V的边界面流进V的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程若在无限远处波函数Ψ为零，则将V扩大到整空间区域时结论：整个空间找到粒子的几率与时间无关。表明粒子的总几率不变,即几率守恒。23三、质量守恒与电荷守恒定律1．质量守恒定律量子力学的质量守恒定律。24２．电荷守恒定律量子力学的电荷守恒定律。25四．波函数的标准化条件（自然条件）1．有限性2．单值性原因：ｔ时刻在点(x,y,z)找到粒子的几率密度应是唯一的3．连续性原因：描述粒子运动规律的方程是薛氏方

6、程，它是一个偏微分方程，这就要求(x,t)的偏微商要存在，而偏微商存在的条件就要求(x,t)连续。在具体解决问题中就要求波函数在区域的分界点的值相等，有时候还要求在分界点的一阶导数相等。26§2.5定态薛定谔方程（1）（2）若与无关，则可以分离变量，令(2)代入(1)式，两边同除　　　，得到（3）等式两边是相互无关的物理量，故应等于与无关的常数（4）27（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式可见分离变量中引入的常数为粒子的能量，当粒子处在由波函数（6）所描述的状态时，粒子的能量有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数（6）称为定态波函数。定态波函数

7、§2.5定态薛定谔方程（续1）2．定态Schrödinger方程当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数由方程（3），即由28在给定的定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrödinger方程。（7）§2.5定态薛定谔方程（续2）3.Hamilton算符和能量本征值方程（8）（9）这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符29（10）均称为能量算符（11）§2.5定态薛定谔方程（续3）利用哈密顿算符(能量算符)可将方程