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1、等差数列的概念及其通项公式一、基础知识1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)将条件概括地说，就是an=an-1=d(n≥2)2.通项公式：3.等差中项：如果在a与b之间插入一个数A,使a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。，即2A=a+b任何两个数都存在等差中项且唯一。4.等差数列的性质（1）若｛an｝是等差数列，则an=an+b,特别地，若a=0,则｛an｝是常数列。（2）若｛an｝是等差数列，则am＝an＋(m－n)d，m，n∈N*，即（3）若是等差数列，
2、且，则二、典型例题分析【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.（2）a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).令-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.【例2】．已知等差数列{an}中，（1）a7＋a9＝16，a4＝1，求a12的值;（2）已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13.解：（1
3、）方法一由a7＋a9＝16，得即，又a4＝1，∴解方程组，得所以7方法二由于a8是a7和a9的等差中项，则，∵a12+a4＝a8＋a8＝2a8=15.∴a12＝2a8－a4＝15.（2）由m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，得a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.∵a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.【例3】在-1与7之间插入三个数a,b,c，使这五个数成等差数列，求此数列。解：方法一由已知，a1=-1，a5=7∴7=-1+（5-1）d，即d=2。∴所求数列为-1，1，3，5，7.方法二-1，a，b，c，7.成等差数列。∴b是-1，7的等差中项，则
4、b=。又∵a是-1，3的等差中项，c是3，7的等差中项，∴a=1,c=5.∴所求数列为-1，1，3，5，7.〖例4〗在数列｛an｝中，a1=4，递推公式an=an-1+2,数列｛an｝是不是等差数列？如果是，求其通项公式。解：∵an=an-1+2,（n≥2）,∴an—an-1=2故｛an｝是公差为2的等差数列。∵a1=4，d=2，∴an=5+4（n-1）,即an=4n+1。〖例5〗(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－
5、d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)解法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，7依题意，2a＝2，且(a－3d)(a
6、＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4解法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.三、训练题（一）选择题1.已知等差数列{an}中，a3＝1，a7＝－9，则a5＝( A)A．－4 B．4C．－8D．82.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（D） A．1
7、3项 B.14项 C．15项 D．16项3.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（B）A．－9 B．－8C．－7D．－44. 已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d=（A）A．－3 B．3C．D．5.在等差数列{an } 中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（A）A．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项6.等差数列{an}的前三项依次是，则a101=（D）A． B．
