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1、脑电图的标度律与层次结构分析黄杨彭跃华傅强解放军理工大学理学院流体力学研究中心，江苏南京，211101摘要：本文将用于分析湍流信号的标度和层次结构理论，推广到对人脑电图的信号进行统计分析，发现属于生命系统范畴的脑电图信号与湍流信号一样，也具有很好的扩展自相似ESS（ExtendedSelfSimilarity）标度性和较明显的层次结构或相似律。关键词：脑电图，湍流，标度律，ESS，层次结构一.引言生命系统是一典型的复杂系统，脑电图信号也是属于这一范畴之内。脑电图(EEG)是利用高灵敏度生物信号放大器，将
2、神经细胞自发产生的电活动接收、放大后，描记出来的连续曲线。湍流问题是一个经典的流体力学难题，湍流与生命现象是两个完全不同类别的、典型的复杂系统。充分发展湍流由不同尺度的运动旋涡构成，了解不同尺度运动结构特性、动力特性与统计等特性，以及不同尺度相互之间的关系已成为湍流研究的一个重点，其中标度不变性是湍流非常重要的特性之一，标度不变性意味着不同尺度流动的运动保持自相似的关系。本文先简单介绍湍流的复杂系统论的一般观点，通过对脑电图的绝对标度律、相对标度律及层次结构的计算，验证并说明了湍流这一连续介质所表现出的
3、最为复杂的宏观运动所具有的标度、层次相似律特征。最后，我们得到的结果说明脑电图的绝对标度律符合地并不是很好，而相对标度和层次结构则表现得相当明显，这一研究揭示了生命系统中的脑电图信号的某些内在相关性，对于研究复杂系统的规律有一定的意义。二.理论方法Kolmogorov在1941年提出了著名的K41湍流理论，其理论核心是在惯性子区存在标度律，且标度律是普适的。1993年意大利学者Benzi及其合作者从实验中又归纳出湍流的扩展自相似ESS。在此基础上，She&Leveque于1994年提出了湍流的统计结构分
4、析的层次结构理论模型。1)K41理论在充分发展的均匀各项同性湍流场中，定义粗粒化速度脉动函数δvil(,)=+−vilvi()()为距离l的两点沿连线方向速度分量之差；定义p阶纵向速度结构函数为：psp()lv=<>δ()l(1)其中p为任意正实数，<·>代表系综平均值。Kolmogorov认为统计矩与尺度成幂次关系：1ζpslp()l∝(2)ς为标度指数，它反映了p阶涨落运动随尺度l变化的规律。在KolmogorovP的K41理论中：ζ=p/3(3)p2)§2.2扩展自相似（ESS）1993年意大利学
5、者Benzi及其合作者在实验中归纳出：任意p阶的速度结构函数对q阶（通常取为3阶）结构函数成幂次关系，即：pqζ(,)pq<>δδvl()∝<>vl()(4)亦：()ll∝()ζ(,)pq,式中ς称为相对标度指数。扩展自相似（ESS）表明不同sspq(,)pq阶的涨落之间存在一种映射关系。3)层次结构理论层次结构理论首先引入p阶层次结构量Fp()l，定义为：pp+1Fp()lv=<δδ()l>=sspp+1()/()ll（5）Fp()l反映了脉动量在强度分布上的一种层次结构。[1]层次结构
6、进理论一步假设：不同尺度上的无量纲层次结构量之间存在着统计自相似，即隐藏的对称性。其表达式为:βFFApp+∞1()/ll()=(FFp()/ll∞())（6）其中：01<<β是与p和l均无关的普适常数,称为间歇参数,Ap仅依赖于p,与l无关。F∞()l定义为：FF∞()ll=limp()p→∞（7）F∞()l称为脉动量的最高激发态或最强间歇结构。[1,2]层次相似律表明，各层次多尺度脉动强度之间存在相似递推不变律，由此不变律可以从低层次脉动强度推出高层次脉动强度。下面我们来消除Ap的影响。令p=1得到
7、：βFFA21()/ll∞∞()=(()/FF1ll())（8）（6）/（８）可得：2ApβFFpp+12()/ll()=(F()/())llF1（9）A1而Ap仅依赖于p，与l无关，所以可以令l=l(常数)得：０ApβFFpp+12()/()ll=(()/()FFll1)0000（10）A1（9）/（10）得：FFFpp12()/ll()()/llF1()+ββYX===()FFFpp+12()/()ll()/()llF1（11）0000我们再对两边取对数，分别以ln()Y和ln()X为纵横坐标，再使
8、用最小二乘法进行拟合即可得到斜率β，这一过程就是所谓的β检验。三.计算结果与讨论下面将用于析湍流信号的标度和层次结构理论，推广对人脑电图的信号L=j[6]进行统计分析，其中：2,(j=１,2,3,……10)；p=１,2,3,……10。纵坐标为Y=lnspl(),横坐标为X=lnl。从图1，图2可以看出脑电图信号的线性拟合性并不十分理想，呈现出类似抛物线的偏转，说明其绝对标度律不是十分明显。20p=545p=10184091641435812
