2011届高三数学精品复习之(11)不等式的性质与证明.doc

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1、2011届高三数学精品复习之不等式的性质与证明1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>ban>bn；当a<0,b<0时，a>ba2b2

2、a

3、>

4、b

5、。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由<2推得的应该是：x>或x<0，而由>2推得的应该是：00即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取

6、倒数即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,∴g(x)∈(-,0)∪(,+)；f(x)+3>30<<1b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a>b,c>d则a-d>b-c；④若a>b,则a3>b3；⑤若a>b,则⑥若aab>b2；⑦若a

7、a

8、>

9、b

10、；⑧若ab且,则a>0,b<0；⑩若c>a>b>0,则；其

11、中正确的命题是。[迁移]若a>b>c且a+b+c=0，则：①a2>ab，②b2>bc，③bc

12、a+c≤3②用心爱心专心由①得：1≤－a－c≤2③4≤－4a－4c≤8④由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得：≤c≤－2⑥由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13⑦，即≤f(3)≤13。错误的原因在于：当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立，此时，a=1，c=－2；当且仅当－4a－4c=8且4a+c=3时⑥式中的=c成立，此时，a=，c=；可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8∴7≤f(3)

13、≤。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，c=－2时，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=，c=时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。[巩固]设正

14、实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则+的最大值是：A．B．C．D．3．关注不等式

15、

16、x

17、-

18、y

19、

20、≤

21、x±y

22、≤

23、x

24、+

25、y

26、及其等号成立的条件；具体的：xy≥0

27、x+y

28、=

29、x

30、+

31、y

32、；xy≥0且

33、x

34、≥

35、y

36、

37、x-y

38、=

39、x

40、-

41、y

42、；xy≥0且

43、x

44、≤

45、y

46、

47、x-y

48、=

49、y

50、-

51、x

52、；xy≤0

53、x-y

54、=

55、x

56、+

57、y

58、；xy≤0且

59、x

60、≥

61、y

62、

63、x+y

64、=

65、x

66、-

67、y

68、；xy≤0且

69、x

70、≤

71、y

72、

73、x+y

74、=

75、y

76、-

77、x

78、。[举例1]若m>0,则

79、x-a

80、

81、y-a

82、

83、是

84、x-y

85、<2m的A．充分而不必要条件，B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件。解析：

86、x-a

87、

88、y-a

89、

90、x-y

91、=

92、x-a+a-y

93、≤

94、x-a

95、+

96、y-a

97、<2m；而当m=4,x=9,y=2,a=2时，

98、x-y

99、=7<2m,但

100、x-a

101、=7>m,∴

102、x-a

103、

104、y-a

105、

106、x-y

107、<2m的充分而不必要条件,选A。[举例2]不等式

108、2x-log2x

109、<2x+

110、log2x

111、的解集为。解析：x>0，不等式

112、2x-log2x

113、<2x+

114、log2x

115、等价于：

116、2x-log2x

117、

118、<

119、2x

120、+

121、log2x

122、2xlog2x>0log2x>0x>1∴不等式的解集为（1，+)。用心爱心专心[巩固1]a,b都是非零实数，下列四个条件：①

123、a+b

124、<

125、a

126、+

127、b

128、；②

129、a+b

130、<

131、a

132、-

133、b

134、；③

135、

136、a

137、-

138、b

139、

140、<

141、a+b

142、；④

143、

144、a

145、-

146、b

147、

148、<

149、a-b

150、；则与

151、a-b

152、=

153、a

154、+

155、b

156、等价的条件是：（填条件序