“相等与不等”问题的转化方法探讨

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1、解题研究》薯I⋯摘要：常量、变量间的相等与不等关系问题是数也凸显了这类问题的广度与难度所在．而求解过程，学问题的一类核心问题，在中学数学中也展现了非常也是融人相应数学知识、数学方法、数学思想的过程，丰富的内涵．通过对三道例题的阐释，探讨了“由等同时，依据问题的灵活性对解题者的数学基础、数学到不等”与“由不等到等”两类问题的转化方法，这能力与数学思维提出了较高要求．本文简单探讨以下种探讨是宏观的、大概的、粗线条的，但却渗透了相两类模型：一类是如何由相等条件得到不等结果；一等与不等的本质解法．类是如何由不等条件得到相等结果．

2、关键词：相等；不等；放缩法；夹逼法一、相等到不等，平衡到奇异大干世界，充满了无穷奇妙的等与不等，如事物例1如图1，有公共左顶点和公共左焦点F的椭的长短、高低、远近；如复数的共轭包含了相同的实圆I与Ⅱ的长半轴的长分别部与相反的虚部；如等式“1+4=2+3”包含着相同为0。和a2，半焦距分别为c的结果与不同的构成元素；如三角形的相似通常包含和c：，且椭圆Ⅱ的右顶点为了相同的形状与不同的大小．在数学视角里，这一系椭圆I的中心，则下列结论图1列的相等与不等，刻画了一系列常量、变量间的大小不正确的是()．关系．从数学美的角度看，相

3、等展现了一种均衡与有(A)血1+c1>o,2+c2(B)01一cl=02一c2序之美，不等展现了一种混沌与奇异之美．从哲学的(C)c1C21角度看，相等是相对的、不等是绝对的，不等中包含分析：本例即是在“0l=2a2”与“Ⅱl—cl=一了相等，相等则是不等的一种特殊形态．c：”的相等关系下去寻找“0。c与”的不等关系．数学问题中，“常量、变量间的相等与不等关系问解法1：(放缩等式)等式“a一c=口2一c：”两边题”是一类核心问题，或者说，数学问题在一定程度分别除以01与，并放缩得二<二堕，从而有0

4、1(z2上解决的正是变量、常量之间的相等与不等关系．具cL1．>堕体情境中，往往需要从丰富的相等与不等条件关系中，即alaz

5、转化来c2，所以一一C2=>0，得>堕．Z解决问题有时非常巧妙，一方面，以形助数显直观；解法3：(借助直观)如图2，A另一方面，以数探形可入微．直观的形的结论通过数有／_AFC<／__BFC<90。，刻画出来，正是一系列量与量之间的相等与不等关系．从而cosLAFC堕．图2口l到“>c2”．同时，抽象的数量之间的相等与不等关口1c【评析】从以上三种解法来看，我们可以总结出由系往往又蕴含着丰富的几何直观．如上述命题“a，等式条

6、件得到不等结论的一般方法与思想．b∈R且n+b=1，求证：ab≤1”，从几何意义来看(1)放缩法．等式放缩，自然可以得到不等式．通‘．过对等式的巧妙构造、转化、放缩，可以达成我们需描述的正是对于邻边和为定值1的矩形，当邻边相等要的不等式结论．实际上，应用不等式，如基本不等时矩形面积有最大值—1．‘L式、柯西不等式等(公式法)解决问题也可视为放缩法的一种．如问题“a，bE且a+b=1，求证：ab≤二、不等到相等。混沌到有序1”_，即是通过使用基本不等式口+b≥2来达到／4例2(2008年高考江苏卷·理14)f(x)=ax一

7、3x+证明目的的．1(∈R)对于∈[一1，1]总有f(x)≥0，贝0a：一当然，这种放缩应当有的放矢．本例中的放缩是分析：此题以一个含参不等式恒成立为条件，在以两边分别除以a。与a2来开展的．那么为何需要除以此条件下研究参数a的取值．其巧妙在于，在一般的a。与o．2呢?其目的在于构造，通过等式中的C与C去问题设置里参数a往往是一个范围，但此题参数a是一个定值．如果说“范围”体现的是不等关系的话，构造目标元素与堕，而a与a2的不等产生了不等口l6[2那么“定值”则体现了一种相等关系．的结论效果．解：(先分离参数，再夹逼)当

8、∈[一1，0)时有(2)化归法．处理多变量间的相等与不等问题，很口≤，重要的一种思想是化归思想．多变量间的棘手问题可以尝试减少为某些合适变量间的关系来研究，从而使则口≤(})，易得口≤4；问题指向更加清晰．依据什么减少变量呢?其中一种重要、轻巧的方式是根据条件呈现的相等关系来实现当∈(0，1]时有口≥，转化与化归．则