概率论 期末复习2.ppt

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1、期末复习(二)第三章分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１　向量的定义定义向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量向量加法２　向量的线性运算数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３　线性组合定义４　线性表示定理定义定义５　线性相关定理定理定义６　向量组的秩等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A

2、的秩．推论１定理推论２推论３（极大无关组的等价定义）设向量组　是向量组　的部分组，若向量组线性无关，且向量组　能由向量组　线性表示，则向量组　是向量组　的一个极大无关组．因此，我们可以利用矩阵的秩来求向量组的秩，也可以利用向量组的秩来求矩阵的秩。7向量空间定义设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称向量组Ｖ为向量空间（VectorSpace）．注任意向量空间都至少有两个子空间:零空间和自身.这两个子空间称为该向量空间的平凡子空间.定义若满足：设Ｖ是一个向量空间，它的某ｒ个向量Ｖ中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，记作：dimＶ.①

3、线性无关；则称　　　　　为Ｖ的一个基.ｒ称为Ｖ的维数.且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.②　　　都可由　　　　线性表示.定义内积8向量的内积内积的运算性质定义令长度范数向量的长度具有下述性质：单位向量夹角定义１正交的概念２正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．正交向量组３正交向量组的性质４向量空间的正交基５标准正交基第四章1基本概念定义线性方程组的一般形式为其中称为未知量，称为方程组的系数，称为常数项。如果全为零，则称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。若使方程组成立，则称之为方程组的一个解。方

4、程组的解的全体称为方程组的解集。若两个方程组的解集相同，则称这两个方程组同解。一定使齐次方程组成立，这个解称为齐次方程组的零解。其它解称为方程组的非零解。齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。对于线性方程组若记其中称为系数矩阵，称为增广矩阵.称为未知数向量，称为常数项向量，按分块矩阵的记法，可记利用矩阵的乘法，此方程组可记作求解方法1：消元法即把其增广矩阵通过初等行变换化成行最简型，再写出相应方程求解。如果线性方程组求解方法2:克拉默法则的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解

5、，并且解是唯一的，解可以表为（注意Cramer法则的适用条件。）定理n元线性方程组1)无解的充分必要条件是2)有唯一解的充分必要条件是3)有无穷解的充分必要条件是齐次线性方程组推论2线性方程组的可解条件重要推论推论1如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的。反之也对。推论2如果线性方程组无解或有无穷多的解，则它的系数行列式必为零。反之也对。推论3如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解.反之也对。向量方程3齐次线性方程组解向量解向量的性质性质１性质２定义定理定义向量方程4非齐次线性方程组解向量的性质性质１性质２解向量向量方程　的解

6、就是方程组的解向量．（１）求齐次线性方程组的基础解系5求线性方程组的通解第一步：对系数矩阵　进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵第三步：将其余　个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系（２）求非齐次线性方程组的特解将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得即为所求非齐次线性方程组的一个特解．