“一致收敛”概念的推广及其应用

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1、内蒙古财经大学学报2013年第11卷第5期“一致收敛”概念的推广及其应用刘勇(内蒙古财经大学统计与数学学院，内蒙古呼和浩特010070)[摘要]本文通过引入函数项级数和含参变量广义积分次一致收敛的概念，证明了函数项级数的和函数、含参变量广义积分连续性的充要条件以及可积性、可微性的充分条件，推广了数学分析中一致收敛的概念以及相应结论。[关键词卜一致收敛；次一致收敛；连续；可积；可微[中图分类号】0177．91[文献标识码】A[文章编号]2O95—5871(2013)05-0140一O3然数，使得n≥N，∈Iin，，i=1，2，⋯，，有I』三厂一致收敛性是保证函数项级数∑“

2、()的和函(，Y)dy一』_厂(，Y)dyl<，则称含参变量的广义数以及含参变量的广义积分，Y)dy具有连续积分(2)在，上次一致收敛。性、可积性和可微性的重要条件，但仅仅只是充分条定理1若在[0，b]上，函数列{S()}的每一件。由于一致收敛条件比较苛刻，因此本文引入了项Js()都连续，则其极限函数s()在[n，b]上连函数项级数和含参变量的广义积分次一致收敛的概续的充要条件是S()在[口，b]上次一致收敛于念，在次一致收敛的条件下证明了函数项级数的和()。函数以及含参变量的广义积分的连续性、可积性和证明：必要性：因为S()在[o，b]上连续，所以可微性，推广了数学分

3、析中的相关结论。对于V0∈[n，b]，V>0，存在6l>0，当I—0I<设函数项级数与含参变量的广义积分分别为：时，有IS(x)一S(。)Im，当n>No时，有ls+⋯(1)，()=』，Y)dy，∈[口，b](2)(。)一s(x。)I

4、{5()}定义于区间，，若J=(。一6，。+，存在大于m的自然数，当n≥对任意>0及自然数m，存在有限个开区间，，，2，Ⅳ0，E／x。n[0，b]时，有lS()一S(X)l≤lS()一⋯，，，覆盖了，，存在一组大于m的自然数Ⅳ，使得n≥Ⅳ，∈，，i=1，2，⋯，'『，有IS()一S()l<占，贝0．s(戈0)l+IS(0)一s(x0)I+IS(o)一S()l<{。。J称{Js()}在，上次一致收敛于．s()。定义2¨】设含参变量的广义积分(2)定义于+詈J+等J=，当‰取遍[0，b]，所得开区间族{／x}区间，，若对>0任意及自然数m≥c，存在有限个覆盖了[，b]，根据

5、有限覆盖定理，可得有限个开区开区间，。，，2，⋯，，覆盖了，，存在一组大于m的自间，。，，2，⋯，覆盖了[口，b]，于是得到必要性的证[收稿日期]2o12—11—05[作者简介]刘勇(1980一)，男，山西大同人，内蒙古财经大学统计与数学学院讲师，硕士，从事概率论、经济统计研究140明。敛于J：S(￡)。充分性：对于V。∈[口，b]，V>0及自然数定理3若在[口，b]上函数列{．s()}的每一项m，由函数列{S()}的次一致收敛性，存在开区间都有连续导数，{S()}收敛于S()，{s()}次，^以及相应的Nk>m，使。∈厶，当／-t>时，对一一致收敛于or()，则S()

6、=()，即芋CLlimS()切∈，n[0，b]，都有I．s()一．s()l<等，因为sn—∞=lim兰S()，也就是极限与求导号可以交换顺()在。点连续，所以6>0，使(。一6，。+6)cn—∞Q，且当∈(。一，o+)时，有IS()一S(。)<序，且S()在[口，b]上也是次一致收敛的。詈，因此，当I—0l<6时，有IS()一S(0)I≤lS证明：由于S()次一致收敛于()，故()连续，由定理2知or(t)dt=』：(1imS(t))dt=lim()一S()I+lS()一S(。)I+I

7、s(o)一Sj：s(t)dt：lira[s()一Sn(0)]=s(％)一s()，由X

8、o)l<等+等+等=，则s()在X0点连续，由‰于等式左边的导数存在，故5()存在且()=S点的任意性可知S()在[o，b]上连续。()。又从s()=S(口)+S(t)dt及定理2可这个定理表明在定理的条件下，对[0，b]上任一得．s()的次一致收敛性。点0，有limlimS()=S(0)=limlimS()，即两把定理1、定理2、定理3中Js()都作为函数项个极限(一个对一。取极限，另一个对n一。。取极级数的n项部分和看待，就得到函数项级数相类似限)运算可以交换顺序。的定理．定理2设函数列{s()}在[，b]上次一致收定理1若级数∑u(