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1、关于最大公因数与最小公倍数概念的推广及其应用举例周泽滋提要本文运用通常最大会因数与最小会倍数的性质以引入非空整数组,的最大会因数与最小会倍数的概念并运用它引入群元素的特征数和环与域的,,粉征数此外论证了任意非空整数组必存在最大奋因数和最小公倍数且对于确定的非空整数纽它们畏唯一的.1问题的提出,,最大公因数与最小公倍数巳是人们非常熟悉的两个概念但OQ的最大公因数是,什么?它们有最小公倍数吗?任意多个不全为零的整数必有最大公因数但它们有最小?:“(,0”,,o,0公倍数吗在不少著作中的回答是o)没有定义1[]图当然f1更没有,定义了能否使它们有合理的意义呢?在近世代数中
2、关于域的特征数(示性数)的定义:,,其描述中有如下之说如果域F的单位元的某质数p倍是零则称F的特征数是p否,、“的、。,则称F的特征数是O闭.J[(或无穷大)61[7j[这里自然要问否则称F的特征.,数是一1(郎不是。)行不行?为什么?再如对循环群的性质描述中往往总是就群,。后的阶是有限的或阶是无穷的情形分别描述其统一描述的范围能否扩大一些呢……。面我们将会看到这些问题与推广了的最大公因数和最小公倍数概念不是没有关系的在,,。下面的讨论中我们假定I表示全体自然数所成的集Z表示全体整数所成的集关于在自然数范围内的这两个概念及其性质在一些数论的书中已讨论得比较详细了,:
3、我们只将其主要的列出如下1)设a,b〔I,如果a,a是,6是a,b.能整除b则称b的约数称的倍数并记作al,,用S表示自然数的数组(元数可能是有限也可能是无穷且数组中的数可以是相,S至,.同的)如果少含有一个数则称S为非空自然数组并记作功今591.,aa,。幻设功今591如果d〔I对于任何任S总有dl则称d为S的公约数,a任S总有al,,3)设必今591如果有m任I对于任何m则称S有公倍数且称功为S的一。个公倍数:,注意仃意非空自然数组必有公约数但元数是无穷的非空自然数组不一定有公倍`,如果把自然教换成业熟则称劲非空盆数组并记作功今59.2,本文1,83年4月26日
4、收到国防科技大学学1报。数。的公约数中的最大者称为的最大公约数,,…,l的,b,…,自然数b最大公约数用a(l)表示。5)5的任一公约数都是S的最大公约数的约数,。6)如果非空自然数组S有公倍数则其中最小者称为S的最小公倍数a,,,。,,,。有限个自然数b…l的最小公倍数用〔b…l]表示,7)设。是S的公倍数那未。是S的最小公倍数其充要条件是S的每个公倍数都。是二的倍数,,,8)设功等591且夕具有公倍数记S的公倍数所成的集为M则下面的关系:式成立。S的最小公倍数=M的最大公约数2.两个概念在整数范围内的推广a,,c,a,定义i设b〔Z如果存在〔Z使得ac=b则称为
5、b的因数称b为a,a。的倍数也记作川b(以后记号川b都是指是b的因数),、:瘫根据定义因数倍数显然有以下性质l“aaa==,}b同时b}件协}}}b}O,2aaaa}b件今}}b}件今}}lb件冷l!日b}”,。30是任意整数的倍数但不是任何非零整数的因素,一,,一。4o任何整数都以11及其自身为其因数郎它是11及其自身的倍数,aa,。定义2设功钾S二Z如果d〔Z对任何〔S总有dl则称d为S的公因数关于公因数显然有:“.i任意一个非空整数组S至少有两个公因数1及一1。,,。2若d是S的公因数则1引也是S的公因数反之亦然,。3o当且仅当S的元全为O时O是S的公因数.,
6、;朴以下总假定用5表示S中的元都取绝对值所成的整数组用S表示S中去掉零。元所成的整数组显然有.。定理id是S的公因数其充要条件是d是了的公因数,,件,。定理2若S非空那末d是S的公因数其充要条件为d是S的公因数ù滋大学盯,。证必要性是显然的只证充分性,,,.。由于d是S的公因数而d也是0的因数故d是5的公因数.。系1如果S,,:忍非空则d是S的公因数其充要条件为d是S的公因数.,,2如果S,1系2非空则S的公因数中有最大者这最大者就是5的最大公约,。数d且S的任何公因数都是d的因数:,,:,证由于S非空故S有最大公约数(指在自然数范围讨论的)记为d(显然.,21,:
7、,J)l)由系知d是S的公因数如果S有比d大的公因数设为d则峨>d>1、关予最大公因数匆最小公倍数血念的报广及共应用举例工恋心「.,:1,,很由系21知d是5的公约数这与d是凡的最大公约数矛盾一兮的公因数,,;51,o盗,冷没矛是毋团随是了曲公汲数而非空故滋色铸从翔解以}是。、S:,d的约数,d的因数叮的公约数故}’d}是所以了是一:,,显然如果S二必郎S中的数全为。则S的味切公因数都是吞的公翩数刃的因、·、、.。一一数.、一_S是一,定义3设个非空整数组如果整数d满足如下劝条伟``!一`;l),、、d是S的非负公因数一、.幻S的任何公因数都是d的因数。则称诊是
