高考涂色问题的探究

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1、投稿邮籀：sxjk@vip163COrfl数学教学通讯(教师版)试题研究>试题探究高考涂色问题的探究汪和平徐金友安徽潜山野寨中学246309摘要：以近代数学难题之一的“四色定理”为背景的涂色问题在高考中频频显现，屡考不厌．本文避开分类讨论方法．对这类问题作了两个层次的探究．第一个层次．通过环形排列与线形排列涂色之间的联系构造涂色方法数的递推关系来求解；第二层次，将线形排列与环形排列涂色问题变式为用点表示区域，两点之间的连线表示它们的相邻关系．用“拆线”与“并点”表示两类涂色问题的转化，从而解决传球问题和几何体的涂色问题．关键词：高考；涂色问题；传球问题；几何体涂色以近代数学难题之

2、一的“四色定理”由等比数列求和公式得％=(m一1)+为背景的涂色问题在高考中频频显现，屡(一1)n(m一1)．②考不厌．这类问题关注了数学史中蕴涵的上式对n=2也成立．数学概念、方法、思想的起源，同时，问题也可以将①式化为一‘的设计贴近学生生活，不仅可以激发学生的学习兴趣．启迪学生的数学思维，还激1r凡(m一1)m一1励学生认识世界、改造世界、投身实践的热情．问题的解决通常运用两个计数原则志(m一1)士一m1-1[l(m一1)一1j，理．排列组合知识以及分步、分类讨论思图2下面证明命题2：设由n块区域成线形想．培养学生分析问题、解决问题的能力；即数列{导．1}为等比数列，再结合思

3、维量大．灵活性强．本文从数学模型的排列时的涂色方法种数为b，由命题1知：等比数列相关性质可求得．角度对高考涂色问题作一点探究．bn=m·(m一1)．注：通过环形排列与线形排列涂色之若线形排列中的区域A与区域A的间的联系构造涂色方法数的递推关系是颜色不同，将线形排列中的区域A。与区两个命题证明的基本恩捅．域A边界相接，即构成有n块区域构成的命题1如图1，由A，A，⋯，A共n块环形排列(如图2)，记它的涂色方法种数区域成线形排列．有m种不同的颜色可供j应用举列为选择，要求每一块区域涂一种颜色，且相若线形排列中的区域与区域的运用上述公式可以轻松地解决2o03邻两区域涂不同颜色．则不同的

4、涂色方法颜色相同，将线形排列中的区域A与区域年高考新课程卷文l6、理14、全国卷15等数有：m·(m一1)．A合并，即构成一个有n一1块区域的环形题中的涂色问题．下面以2o03年高考新课排列，则它的涂色方法种数有o．程卷理科第14题为例．图1所以b=+Ⅱ1(n≥3)．例1某城市中心广场建造一个花命题2如图2，由A，A2，⋯，A，共n块区显然n2=62=m(m一1)，圃．花圃分为6个部分(如图3)，现要栽种4域成一个环形排列．有m种不同的颜色可即l_仇·(m_1)．①种不同颜色的花．每部分栽种一种且相邻供选择，要求每一块区域涂一种颜色，且又n(【+卜1)一(珥斗r上)+(0+3)一

5、·+部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种相邻两区域涂不同颜色，则不同的涂色方(一1)卜3(03+啦)+(一1)B2=硼·(m～1)—，·(m一方法共有种．(以数作答)法种数有：(m一1)+(一1)(m一1)．1)+仇·(，n一1)一⋯+(一1)卜2，r·(，r卜1)，解析先将区域1种好．有4种方法，再063试题研究>试题探究数学教学通讯(教师版)投稿邮箱：sxjk@vip163．com邻区域是否同色问题．运用它来解决2008年高考重庆卷中的涂色问题很方便．2△+例3某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图6所示的6个点A，，C，Al，日。，CI上各装一个灯泡，要求图

6、3同一条线段两端的灯泡不同色．则每种颜△一△考虑其余5个区域，它们组成一环形排列，色的灯泡都至少用一个的安装方法共有有3种颜色可供选择，有25+(一1)·2=30；由分种．(用数字作答)步乘法计数原理得，共有120种种‘法．△一△+⑨变式应用s△一△=(A；·Ai一3A；·A；+3Ai·A一A：)一c：(A；·图4A~-3Ai·+3一)=216种．图6注：将涂色问题转化为图中的点、线解析图7是图6的俯视图．依题意点关系，将约束条件转化为“拆线”或“并点”A与点A。应不同色，若先不考虑点A与点A。是解题的基本思想．在这种方法下，本题不同色的限制，即可将连线AA拆除(如图的构图方式比

7、较灵活、自由．8)；再除去点A与点A。同色的情况，若点A与点A。同色，可将点A与点A。合并(如图教学建议图59)，由此得出下面的图解法：在建立和运用数学模型过程中。从模在线形排列与环形排列涂色关系的转型的结构本质出发，可以将许多形式各异化中，若用点A，A：，⋯，A表示图1与图2中的问题统一到同一模型结构中来．从环形的嗽区域，两点之间的连线表示它们的相△c：△c日排列与线形排列涂色关系模型转化的不邻关系，则图13图2可变式为图4与图5．同角度出发，可以解决形式各异的平面图若图4中点