洛必达法则 函数图像描绘.doc

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1、§6.2洛必达法则一、型约定用“0”表示无穷小，用“”表示无穷大.已知两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能有各种不同的情况.因此，求或形式的极限都要根据函数的不同类型选用相应的方法，洛必达法则是求或形式的极限的简便方法.或都称为待定型。约定用“1”表示以1为极限的一类函数，待定型还有五种：0，1，0，，，-这五种待定型都可以化为或的待定型，例如:0==或0==.1=e=e.0=e=e.=e=e..洛必达法则1若函数f(x)与满足下列条件：1)在a的某去心领域可导，且；2)与；3).则.证法证明洛必达法则要找到两个函数

2、之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与在a满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与在a作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数在a的极限与函数f(x)与在a的函数值无关.证明将函数f(x)与在a作连续延拓，即设.在以x与a为端点的区间上函数与满足满足柯西中值定理的条件，则在x与a之间至少存在一点c，使.已知==0，，有与，，.从而，=.因为c在x与a之间，所以当时，有，有条件3），有=.洛必达法则2若函数f(x)与满足下列条件：1),在(-)与()可导，且；2）

3、与；3）则.证法应用换元法设，就将换成.于是，函数与在y=0的领域内满足洛必达法则1.由洛必达法则1可证洛必达法则2.证明设..从而，=，其中=0与=0.根据洛必达法则1，有===即.应用洛必达法则，而极限仍是的待定型，这是只要导函数与仍满足洛必达法则的条件，特别是极限存在，则有==一般情况，若，，…，都是的待定型，而导数与满足洛必达法则的条件，特别是极限存在，则有==…=.例1求极限()解由洛必达法则1，有=lna-lnb=ln.例2求极限.()解===1.例3求极限()解===()===例4求极限()解=()=()=

4、二、型洛必达法则3若函数f(x)与满足下列条件：1)在a的某去心领域可导，且；2),；3).则.证明只证明情况.同法可证情况.由条件3)，，，，有.(1)取定.,函数f(x)与在区间[]满足柯西中值定理的条件，根据柯西中值定理，，有或，.用乘上式的等号的两端，有[][]或[][]+[].对上式再除以，有=[][]+.(2)由条件2),有(是常数)=0与=0.从而，对上述的，同时有与.由于c:,有，由(1)式，有.于是，由(2)式，，有

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8、(1+)+<,即.同法可证，于是在洛必达法则3中，将换成，且满足相应的条件，结论

9、仍然成立.证法与洛必达法则2相同.例5求极限.()解根据洛必达法则3，有==()==()==例6求极限.()解==0.例7求极限.()解==对常数，，使，逐次应用洛必达法则3，直到第n次，有==…==0.例6与例7说明，当时，对数函数，幂函数，指数函数都是正无穷大.这三个函数比较，指数函数增长最快，幂函数次之，对数函数增长最慢.注这里我们又一次得到了§2.4关于无穷大级的序列.但是，现在我们所使用的方法是简单的，统一的，比第二章的使用的方法容易多了.说明洛必达法则对求多数待定型的极限不仅计算简单，是非常有效的.三、其他待

10、定型1.0型例8求极限(0)解====0.例9求极限().(0)解=()==2.1型例10求极限(m是常数).解=，其中=()===m,从而有==.例11我们把()称为n个正数的x次方平均数，并记证明：1)(1)2)()3)(0)证明1)中的极限是1型的，两边取对数可把它转化为型，然后用洛必达法则.=()===于是，=2)不妨设2)中的极限是型的.两边取对数可把它转化为型.然后用洛必达法则.===，其中，而当时，于是=于是，=3）不妨设方法同2).于是===[]/[其中，当时，于是，=即=3.型例12求极限()解=其中=

11、==0，即==1.4.型例13求极限.()解=.其中=()===0.有==1.5.型例14求极限.()解=()==()=从上述的例题看到，洛必达法则是求待定型极限的有力工具.值得注意的是，洛必达法则的条件3)仅是充分条件，即当极限不存在时，而极限仍可能存在.例如，求极限.极限=不存在，而极限==1却存在.应用洛必达法则时，每步必须验证是否满足条件，否则会得出错误的结果，如==.事实上左端极限是1，原因是在用了一次洛必达法则之后，已经不是待定型了，所以不能再用洛必达法则.正确的做法是=§6.4导数在研究函数上的应用五、曲线

12、的渐近线中学平面解析几何给出了双曲线的渐近线：我们虽然不能完全画出全部双曲线，但是有了渐近线，就能知道双曲线无限延伸的走向及趋势.如果一条连续曲线存在渐近线，为了掌握这条连续曲线在无限延伸时的变化情况，求出它的渐近线是必要的.定义当曲线C上动点P沿着曲线C无限远移时，若动点P到某直线l的距离无限趋近于0，如图6.16