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1、新县高中高二年级数学学科导学案（15）编、审：陶磊使用：9、10班学生姓名：班级：2.2.2椭圆的几何性质（三）-------椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥Ao于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e=⑤e=上述正确的是评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜
2、=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。BAF2F1题目1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e=思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1变形1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率解：连接PF2,则｜OF
3、2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=-1二、运用正余弦定理解决图形中的三角形FBAO题目2：椭圆+=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=e=(舍去)变形：椭圆+=1(a>b>0)，e=,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°4引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质
4、：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。题目3：椭圆+=1(a>b>0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：两式相除=e=题目4：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e解：由正弦定理：==根据和比性质：=变形得：===e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15
5、°e==点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求e的取值范围解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe===≥∴≤e<1三、以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式B(X2,Y2)A(X1,Y1)O题目5：椭圆+=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=y1+y2=
6、-2c=+=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则4-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=法二：设AB的中点N，则2=+①-②得：=-∴1=-(-3)既a2=3b2e=三、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围MPF2F1O题目6：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(,y0)M(,)既(,)则1=-(+c,y0
7、)2=-(-c,)1·2=0(+c,y0)·(-c,)=0(+c)·(-c)+=0a2-3c2≤0∴≤e<1解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c｜PF2｜≥-c则2c≥-c3c≥3c2≥a2则≤e<1课时作业：BAF2F1PO1、椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，2、P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA
