专题：椭圆的离心率解法大全

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1、专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（或）1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率2，椭圆的离心率为，则[解析]当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，，综上或33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为[解析]由，椭圆的离心率为5，已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为6，设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1，在ABC中

2、，，，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率2，如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为()[解析]3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是4,椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？解：∵｜

3、F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1变式（1）：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=-1变式（2）椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴=又∵b=∴a2=5c2e=变式(3):将上题中的条件“PF2∥AB”变换为“∥(为坐标原点)”相似

4、题：椭圆+=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=e=(舍去)变式(1):椭圆+=1(a>b>0)，e=,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：（1）∠ABF=90°（2）假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。（3）焦点与相应准

5、线之间的距离等于长半轴长。变式(2):椭圆(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=．提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：，但4，设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。解：设法1：利用椭圆范围。由得，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得。由椭圆的性质知，得。附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似）法2：判别式法。由椭圆定义知，又因为，可得，则，，是方程的两个根，则解法3：正弦定理设记又因为，且则则，所以解法5：利

6、用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6：巧用图形的几何特性由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有变式(1)：圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求椭圆的离心率e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：=根据和比性质：=变形得：==e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e==点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变式(2)：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P

7、是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe===≥∴≤e<1变式(3)：过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率e的值解析：因为，再由有从而得变式(4)：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。{}变式(5)：8、椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则椭圆的离心率的取值范围为解析：设为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形为平行四边形且为矩形，，，，