高考数学总复习之【最值问题】专题.doc

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1、专题　最值问题【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点2：解斜三角形.考点3：线段的定比分点、平移.考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.考点5：向量在物理学中的运用.【自我检测】1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，　　2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；（2）:均值不等式法和单调性加以选择；（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)

2、【重点难点热点】问题1：函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.例1：(02年全国理1)设a为实数，，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．思路分析：(1)考察与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．(1)解法一：(利用定义)＋，若都不成立，故不是奇函数；若为偶函数，则，即＋此等式对恒成立，只能是

3、．故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数．解法二：(从特殊考虑)又，故不可能是奇函数．若，则，为偶函数；若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数．（2）当时，，由二次函数图象及其性质知：若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且．当时，函数．若，函数在上的最小值为，且；若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为．综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是．点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及与是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．2．二次函数的最值解

4、，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,(、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x2－x－6．(1)求k、b的值;(2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数的最小值．　点拨与提示：由f(x)>g(x)得x的范围，＝＝x+2+－5，用不等式的知识求其最小值．演

5、变2：（05年北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a．（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．点拨与提示：本题用导数的知识求解．问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．　思路分析：将d用点M的坐标表示出来，，然后求其最小值．解：（

6、1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(,),则={+6,},={－4,},由已知可得，则2+9－18=0,解得　=或=－6．由于>0,只能=,于是=．∴点P的坐标是(,)(2)直线AP的方程是－+6=0．设点M(,0),则M到直线AP的距离是．于是=,又－6≤≤6,解得=2．椭圆上的点(,)到点M的距离有,由于－6≤≤6,∴当=时,d取得最小值演变3：xy（05年辽宁）如图，在直径为１的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中．(Ⅰ)将十字形的面积表示为的函数；(Ⅱ)为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？点拨与提示：将十字型面积S用变量表示出来，

7、转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值．问题3：最值的实际应用OO1在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路分析：将帐蓬的体积用x表示（即建立目标函数），然后求其最大值．解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面