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1、比容的定义：(1)(2)(3)(4)注意：在lnp’-v平面上，回弹线SL尽管穿过了CSL线，但并不意味等压卸载过程中应力点曾达到CSL线上，因为此坐标系中CSL为空间CSL曲线的投影，而SL始终在lnp’-v平面上，并不能达到空间的CSL线上的应力状态。图1土的物态全界面归一化后土的物态全界面R在上图2-34中AR为卸载回弹线（其方程如式（4）），过其作的竖直曲面，此曲面位于物态全界面(Roscoe面、Hvorslev面及无拉力墙构成)以下的阴影部分，即为一弹性墙，此弹性墙交物态边界面Roscoe面
2、于AF，在AR线上荷载变化时，无塑性体积变化，亦即在弹性墙上，塑性体应变保持为常数。如果选择塑性体应变为硬化参数，那么等塑性体应变面就是屈服面，等塑性体应变线AF就是屈服轨迹。AF在p’-q’平面上的投影A’F’为屈服面在p’-q’平面上的屈服轨迹。在图2-35中回弹曲线与比容轴截距代表其塑性比容，在同一弹性墙上，或同一屈服线上，弹性墙的塑性比容，也就是说其塑性体应变为常数。剑桥模型基于传统塑性位势理论，采用单屈服面和相关联流动法则。屈服面形式(方程)A’F’不是基于试验而提出的，上面已根据物理意义在
3、几何上表示出屈服面A’F’，但还无法用数学表达式表示，剑桥模型是依据能量理论得出的其屈服面方程，实质上是一种假设。依据能量方程，外力(荷载)做功一部分转化为变形体的弹性变形能(可储存在变形体内，外力或荷载卸除时，可完全释放出来)，另一部分转化为耗散能(或称塑性变形能，外力或荷载卸除时，不能再释放出来)，因而有(5)两种变形能可表示如下：(6)(7)关于弹塑性变形能，Roscoe作了如下的假设：(1)假定一切剪切应变都是不可恢复的,亦即无弹性剪应变,只有不可恢复的塑性剪应变(总剪应变等于塑性剪应变)(8
4、)(9)(2)假定弹性体应变可从各向等压固结试验中所得的回弹曲线求取,即由式(4)可得(10)(11)(12)故:(13)(3)假定全部耗散能(塑性变形能)等于由摩擦产生的能量耗散,即:(14)式中为内摩擦系数,其值等于p’-q’平面上临界状态线CSL的斜率M(三轴压缩)(15)或(三轴伸长)(16)所以(17)而单位体积的土在p’,q’应力作用下如产生应变和,变形能为(18)则由式(17)和式(18)可得能量方程:(19)于是将式(13)代入上式,则或(20)式(20)实际表示了流动法则,即表示了塑
5、性应变增量在p’-q’平面上的方向,与这一方向正交的轨迹就是在这个平面上土的屈服轨迹(相适应的流动法则),如图2-34所示.设此屈服轨迹的方程为:(21)则(22)因为在同一屈服面上硬化参数为常数,所以,则(23)根据相适应流动法则(24)(25)将以上两式代入式(23),则得(26)将式(20)代入上式,则得(27)将此微分方程变换可得到积分得到(28)式中C为积分常数.利用p’轴上起始各向等压固结试验点A,对应,代入上式,则得,将之代入式(28),则得得到湿粘土(正常固结和轻超固结土)的屈服轨迹方
6、程为(29)其在p’-q’平面上的形状如图2-34和图2-35(a)所示,像一个”帽子”,是子弹头形,以为硬化参数.由于NCL上每一个都对应于一个(或),所以实际上这一模型是以塑性体应变为硬化参数.对于重超固结土,可得到类似的屈服面,只是对应的不同.空间无拉力墙的方程为(30)Hvoslev面的方程为(31)式中h为Hvoslev线的斜率.空间Roscoe面的方程为:(32)由湿粘土对应,的不排水试验路径在p’-q’平面上的投影或归一化的Roscoe面,由式(2)得(33)将式(33)代入式(32),
7、则得对应不排试验路径在p’-q’平面上的方程为(34)也为指弹头形,但显然此不排水路径与屈服轨迹并不重合,不排水路径在屈服轨迹以外.剑桥模型增量型应力-应变本构关系将式(32)微分,可得(35)因由式(11)知所以(36)又因,(37)于是(38)将式(38)代入能量方程(19),可得(39)于是剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为:(40)修正剑桥模型:1965年,英国剑桥大学的Burland采用了一种新的能量方程形式,得到了修正剑桥模型.他建议以下式代替式(14)(41)即假定总的塑性变形能等于塑性体变能
8、和由摩擦耗散能的算术平方根,以之代替式(19)右边第二项,则即故可得:(42)此即修正剑桥模型的流动法则.将其代入式(26),得到在p’-q’平面上的屈服轨迹方程为(43a)或(43b)或(43c)或(43b)即为椭圆方程.其顶点在线上,以为硬化参数,即因为.其增量型应力-应变关系为于是修正剑桥模型的弹塑性矩阵可表示为:然而,有限元等数值计算中,常按如下一般弹塑性矩阵式来表示,由等塑性硬化规律有:按相适应的流动法则而屈服面和加载面
