各种湍流模型详细推导

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1、第三章Fluent湍流模型介绍3.1Fluent中湍流模型概述3.1.1湍流模型框架结构Fluent中湍流的数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指直接求解瞬时湍流控制方程（3.1）和（3.2）。而非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流作某种程度的近似和简化处理。依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。下图简要概括了湍流模型的分类：1图3.1三维湍流数值模拟方法及相应的湍流模型3.1.2湍流模型概述3.1.2a直接数值模拟(DNS)直接

2、数值模拟(DirectNumericalSimulation,简称DNS)方法就是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行计算。DNS的最大好处是无需对湍流流动作任何简化或近似，理论上可以得到相对准确的计算结果。虽然这样计算的误差很小,最能贴近实际工况,但是计算量巨大,网格必须小于或等于流场中最小的涡结构尺寸。在现有的计算机水平下,该方法只能求解低雷诺数,理想边界条件下简单的流动,很难应用于工程计算。3.1.2b大涡模拟(LES)在模拟湍流运动的过程中,一方面要求计算区域大到可以包含湍流运动的整个流场区域,另一方面又要求计算网格的尺寸小到可以包含最小尺寸涡的运动,这在

3、实际应用中是很难实现的。因此,目前只能放弃对全尺度范围上涡的运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度的涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟（亚格子尺度模型），这就解决了DNS方法中网格的细小化问题。能够在较大网格的尺度上模拟较高雷诺数和较复杂的湍流流动"总体而言,LES方法对计算机的要求还是比较高,但低于DNS方法。LES方法的基本思想可以概括为：用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。3.1.2c雷诺平均模拟(RANS)雷诺平均法是将非定常的N-S方程对

4、时间平均,得到一组以时均物理量和脉动量乘积的时均值作为未知量的非封闭方程,然后添加其他方程来描述脉动量乘积的时均值,同N-S方程一起组成封闭的方程组来描述湍流运动。比如在k−ε模型中,我们添加湍动能k和湍动能耗散率ε的方程来使N一S方程封闭。雷诺平均模型不需要计算各种尺度的湍流脉动,只计算平均流动,因此对空间的分辨率要求低,计算量小。RANS主要分为Reynolds应力模型和涡粘模型，下文将分别阐述。本文主要是采用涡粘模型中的RNGk−ε模型来进行计算的。3.2Reynolds时均方程推导3.3.1湍流物理量时均值定义及性质按Reynolds平均法，任一变量φ

5、的时间平均值定义为：1tt+∆φφ=∫()tdt（3.1）∆tt其中时间间隔∆t相对于湍流的随机脉动周期而言足够地大，但相对于流场的各种时均量的缓慢变化周期来说，则应足够地小。物理量的瞬时值φ，时均值φ及脉动值φ/′之间有如下关系：φφφ=+′（3.2）设φ及ξ是两个瞬时值，φ′及ξ′为相应的脉动值，则按定义（3.1）及式（3.2）有以下基本关系成立：φ′=0；φφ=；φφφ+=′；φξφξ=；φξ′=0；φξφξ=；φξφξφξ=+′′2222∂∂φφ∂∂φφ∂∂φφ∂φ′∂φ′=；=；=；=0；=0（3.3）222∂∂xx∂∂tt∂∂xx∂x∂xiiiii

6、i3.3.2Reynolds时均方程3.3.2a连续性方程将三个坐标方向的瞬时速度表示成时均值与脉动值之和并代入连续性方程，再对该式作时均运算，得：∂+(uu′)(∂+vv′)(∂+ww′)∂∂∂∂uvwuvw′′′∂∂++=+++++=0∂x∂y∂z∂∂∂∂∂∂xyyxyy显然可有：∂∂∂uvw′′′++=0（3.4）∂∂∂xyy∂∂∂uvw++=0（3.5）∂∂∂xyy这两式表明，湍流速度的时均值仍满足连续性方程。3.3.2b动量方程以x方向动量方程为例，作类似于上面的处理，有：2∂+()()()uu′′′∂+uu∂+∂+uuvv()()′′∂+∂+uuw

7、w()′+++∂∂tx∂y∂z2221∂+()pp′∂+()()()uu′′′∂+vv∂+ww=−+u++222ρ∂x∂∂∂xyz利用上节给出的关系式，可得：22∂∂u()()()()()()u∂uv∂uw∂u′∂uv′′∂uw′′++++++∂∂∂∂∂∂txyzxy∂x1∂p∂∂∂222uuu=−+u++ρ∂x∂∂∂xyz222把上式左端脉分量乘积的时均值项移到等号右端，得：22∂∂u()()()()()()u∂uv∂uw∂u′∂uv′′∂uw′′++++++∂∂∂∂∂∂txyzxy∂x1∂∂∂pu2∂∂u∂∂u=

8、−+−uuu()u′+−uv′