推导SSH模型—11_10_10修改.doc

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1、详细推导SSH模型1、哈密顿量的经典推导体系的哈密顿量是体系的总能量，聚乙炔链是由CH单元和电子所组成的，因而聚乙炔的总能量是晶格原子和电子两部分能量之和。用和分别表示晶格原子和电子的哈密顿量，则聚乙炔的哈密顿量为（1.1）先讨论晶格原子部分的，M表示CH单体的质量，第n个原子在链方向上的位移为，其速度则为，于是所有晶格原子的动能为（1.2）晶格原子之间的势能是弹性势能，它正比于相邻原子间距离变化的平方，因为第n个和第n+1个原子的位移各位和。（注：，参看1.5式）（1.3）其中K是弹性常数，对于聚乙炔，K=21-56ev/.于是晶格原子的哈密

2、顿量为（1.4）再看电子部分的.电子在晶格原子的周期性势场中运动（该势场表示晶格原子和电子的相互作用），设原子的平衡位置为,当它位移了后，原子的瞬时位置为，（1.5）设第i个电子的坐标为，第n个原子对第i个电子的势能为。于是，整个晶格中各个原子对第i个电子所产生的势能是(1.6)第i个电子的动能是，（1.7）其中m是电子的质量，是第i个电子的动量，于是第i个电子的哈密顿量为(1.8)聚乙炔中所有电子的总哈密顿量(1.9)将电子的动量变为动量算符，就可以得到聚乙炔的总哈密顿算符是（2.0）由于原子的质量比电子重得多，其量子效应比较小，所以，在哈密

3、顿算符（2.0）中，原子的动量没有变成算符，因此原子部分的哈密顿量是经典的，处理起来比较简单。电子部分的包含算符，直接从式（2.0）出发，处理起来比较困难，考虑到聚乙炔的特点，利用适当的近似（称为“紧束缚近似”）可使简化。2、紧束缚处理电子部分哈密顿为此先讨论一个电子在晶格势场中的运动，即的本征值问题。此时，单电子的薛定谔方程为（2.1）在聚乙炔中，当电子处于第n个碳原子附近时，电子受到的势能作用主要来源于，其它所有碳原子的势能总和将比小得多，可以视为微扰。也就是说，在附近，电子将比较紧地被第n个碳原子所束缚，其它碳原子对该电子的影响比较小，在

4、零级近似下，方程（2.1）简化为第n个孤立碳原子中的薛定谔方程(2.2)其中和是第n个孤立碳原子中的电子本征函数和本征值(由于是Rn的函数，故求得的是不同的)。由于碳原子中的电子激发态的能量比较高，电子只处于最低的能级上，因而可以只考虑此最低的能级，并认为和就是此最低能级上的波函数和能量。因为各个碳原子上最低的能量都是相同的，因而不同碳原子上的波函数是相互简并的状态。根据简并态的微扰理论，方程（2.1）中的零级近似波函数应该是所有的线性组合，即(2.3)其中是展开系数，表示电子出现在第个原子中的几率。将式（2.3）代入方程（2.1）可求得确定的

5、方程(2.4)两边乘上，并对空间积分，注意到不同原子上波函数之间很少交叠，近似地有(2.5)即不同的基本上是相互正交的。于是由式（2.4）得到(2.6)利用孤立原子的薛定谔方程（2.2），上述方程可简化为(2.7)当格点和不是近邻时，原子波函数和之间无交叠，两者乘积的积分等于零，当是的近邻或m=时，和才有一定的交叠，含有的积分才不等于零，因而A,，(2.8)0，其它其中就是相邻两原子之间的相互作用能量，将此式代入式（2.7）可得到确定的方程为(2.9)这是的联立方程，求解它就可得到聚乙炔中电子的能谱E和波函数。在一般情况下，，那时求解方程（2.

6、9）比较复杂，如果假设均匀二聚化(3.0)方程（2.9）是很容易求解的，此时（2.9）可简化为(3.1)设(3.2)代入方程（3.1）得到(3.3)这就是紧束缚近似下的电子能谱。同时，将式（3.2）代入式（2.3）就得到电子的波函数（3.4）3、二次量子化处理N电子问题以上讨论的是一个电子在晶格势场中的运动，当N个电子同时存在时，可利用二次量子化方法来得到N个电子的哈密顿量，这时，在展开式（2.3）中，将展开系数变为电子的湮灭算符，同时，变为电子的场算符，它的厄密共轭是，即；（3.5）其中是电子的产生算符，和之间满足费米对易关系（3.6）利用场

7、算符和可将N个电子的哈密顿量用单电子的哈密顿量表示为（3.7）将式（3.5）代入上式，有（3.8）利用第个原子的薛定谔方程（2.2），上式简化为（3.9）再利用式（2.8），上式进一步简化为（4.0）可以将作为计算能量的零点，则（4.1）这就是SSH模型哈密顿量中的电子部分。现在对式（4.1）作两点补充：首先，由于电子具有自旋，为了说明跃迁电子的自旋守恒，将产生算符和湮灭算符写成和，它们说明在第n个原子上增加或减少一个自旋为s的电子。其次，由于原子离开平衡位置的位移很小，这时相邻原子间的距离=与平衡位置间的距离相差很小，即，于是相互作用能可Ta

8、ylor展开（4.2）其中是平衡位置上相邻两原子之间的相互作用能，，是相互作用t随原子间距离的变化率，对于聚乙炔，一般采用.将（4.2）式代入（4.1