高中数学选修计数原理练习.doc

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1、第十一章　计数原理第1讲　两个基本计数原理考点梳理1．分类加法计数原理完成一件事，有n类办法：在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．【助学·微博】　两个原理的联系与区别联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问

2、题．区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事一步到位；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，缺一不可．考点自测1．“海山联合—2012”中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________种．解析　若中方选出一架飞机，则选法有CCC＝120(

3、种)；若俄方选出一架飞机，则选法有CCC＝60(种)．故不同选法共有120＋60＝180(种)．答案　1802．(2012·全国大纲卷改编)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．解析　甲先排在其余4个位置上有C种方法，剩余元素则进行全排列，有A种排法，由分步乘法计数原理，得一共有CA＝480(种)．答案　4803．(2012·广州模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的

4、集合，则一共可以组成________个集合．解析　CC＋CC＋CC＝26(个)．答案　264．(2010·湖南卷改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．解析　若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C，由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C＋C＝11.答案　115.某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点

5、A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析　法一　当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．法二　恰有i个焊点脱落的可能情况为C(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C＋C＋C＋C＝15(种)．答案　15考向一　分类加法计数原理【例1】若集合A1、A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，问集合A＝{a1，a2，

6、a3}的不同分拆种数有多少个？解　若A1＝∅，则A2＝{a1，a2，a3}；若A1＝{a1}，则A2＝{a2，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a2}，则A2＝{a1，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a3}，则A2＝{a1，a2}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a1，a2}，则A2＝{a3}或{a1，a3}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a1，a3}，则A2＝{a2}或{a1，a2}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}；若A1＝{a2，a3}，则A2＝{a1}或{a1，a2}或{a1，a3}或{a1，a2，a3

7、}；若A1＝{a1，a2，a3}，则A2＝∅或{a1}或{a2}或{a3}或{a1，a2}或{a1，a3}或{a2，a3}或{a1，a2，a3}．故不同的分拆种数为1＋3×2＋3×4＋8＝27.[方法总结]分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【训练1】　如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个？解　把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，

8、有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．考