高二精选题库习题-数学选修4-5-2.doc

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1、选修4-5第2节[知能演练]一、选择题1．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．1　　　　　　　　　　B.C.D．2解析：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.∴＋＋≤.当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．故＋＋的最大值为.故应选C.答案：C2．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，因为a2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25，即－5≤a＋2b≤5，当且仅当b＝2a且a2＋b2＝5时等号成立，故选D.答案：

2、D3．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是(　　)A．M≥NB．M>NC．M≤ND．M

3、)2＋()2]＝5(x＋y)＝5×2＝10.∴x＋4＋4y≤10.当且仅当1×＝2.即y＝4x(x>0)时等号成立．解得x＝符合x>0，∴x＋4＋4y的最大值为10，故应选C.答案：C二、填空题5．把一条长是m的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．解析：设三段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，三个正方形的面积和为S＝()2＋()2＋()2＝(x2＋y2＋z2)．因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，当且仅当x＝y＝z＝时等号成立，所以x2＋y2＋z2有最小值，从而S有最小值.答案：6．设a，b

4、，c均为实数，则的最大值为________．解析：∵a＋b－c＝a＋·b－·c，由柯西不等式得(a＋b－c)2＝(a＋·b－·c)2≤[12＋()2＋(－)2](a2＋2b2＋3c2)，∴a＋b－c≤.∴≤.故所求的最大值为.答案：三、解答题7．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)(＋＋)≥36R2.证明：由正弦定理知：＝＝＝2R.(a2＋b2＋c2)(＋＋)≥(＋＋)2＝(6R)2＝36R2.即(a2＋b2＋c2)(＋＋)≥36R2.8．设a1、a2、…、an是1、2、…、n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明：设b1、b2、

5、…、bn－1是a1、a2、…、an－1的一个排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.∴原不等式成立．[高考·模拟·预测]1．函数f(x)＝＋的最大值＝________.解析：＋＝＋，由柯西不等式得(＋)2≤(12＋12)[(x)2＋()2]＝6，∴＋≤＝.当且仅当3x＝3－3x即x＝时等号成立．答案：2．若不等式

6、a－1

7、≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2

8、＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由柯西不等式得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，由题意

9、a－1

10、≥3，∴a≥4或a≤－2.答案：a≥4或a≤－23．已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：＋＋≥9.证明：左边＝[2(a＋b＋c)](＋＋)＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9(或＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9)，∴＋＋≥9.4．已知实数m，n>0.(1)求证：＋≥；(2)求函数y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值．(

11、1)证明：因为m，n>0，利用柯西不等式，得(m＋n)(＋)≥(a＋b)2，所以＋≥.(2)解：由(1)，函数y＝＋＝＋≥＝25，所以函数y＝＋〔x∈(0，)〕的最小值为25，当且仅当x＝时取得．