等腰直角三角形学案.doc

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1、等腰直角三角形专题训练一1、如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E，则下列结论①AB=BE；②∠CAE=1/2∠ABC；③AD=CE；④CD+CE=AB；其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个你还可以发现什么其他的正确结论，猜想并证明.图1图2角有22.5,45,67.5,90,112.5全等三角形关键是两大类：一类以成轴对称变换得到的两个三角形全等，即共边的全等三角形A点和E点关于直线BD成轴对称，所以产生两个等腰三角形：△ABE和△ADE

2、；相等的线段有①AB=BE=AC；②AD=CE=DE；③BD是线段AE的垂直平分线利用相等的线段代换类：BC=AC+AD；CD+CE=AB；BC-CD=2AD；△DEC的周长=BC的长△BDC的面积=1/2*BC*AD第二类是以旋转变换得到的两个三角形全等，即等边的全等三角形如图2：△ABP≌△CAE；△ABF≌△CAM；△ABD≌△CAN从而可以得出以下结论：BD-AE=2DF由第二类证明变化：变式1：如图,已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过A点，BD⊥MN于D点；CE⊥MN于E点.(1)当直线

3、MN绕点C旋转到图1位置时,试探求DE、BD、CE三条线段之间的数量关系并证明.(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时,(1)的结论是否成立，猜想并证明；(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时,(1)的结论是否成立，猜想并证明；由题目引申变化：变式2：在第1题的前提下增加条件过C点作CH⊥BD交BD的延长线于H点，求证：∠AHC=135°图3图4变式3：如图5，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E，若将“BD平分∠ABC”，改为“BD是AC边上的中线”，求证

4、：∠ADB=∠CDE图5说明：将角平分线变为中线后，第一类的全等三角形不成立了，但是第二类的全等三角形成立。变式3-2：（2007·日照）如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。变式4：推广到一般：如图7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC的内部作射线BP，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E，CH⊥BD交BD于H点，求证：∠AHC=

5、135°,(2)猜想BH、HC、AF之间的关系变式4-1、如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON.(1)求证：BN平分∠OBA；(2)求（OM+MN）/BN(3)若点P为第四象限内一动点，AP⊥BN，交BN的延长线于P点，求∠APO的度数.2.（2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．

6、给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是　▲　．【答案】①③。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴。∵BA=BC，∴。故①正确。∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB。∴。又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠B

7、CD。∴在Rt△ABG中，。∵，∴FG=FB。故②错误。∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF=AC。∵AC=AB，∴AF=AB。故③正确。设BD=a，则AB=BC=2a，△BDF中BD边上的高=。∴S△ABC=，S△BDF∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。因此，正确的结论为①③。