函数最值问题应用题例举.doc

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1、函数最值问题应用题例举例1（2004·江苏卷·19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【考查目的】本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【例题详解】设投资人分别用万元投资甲、乙两个项目，由

2、题意知目标函数上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域作直线的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时纵截距最大，这里点M是直线。解方程组得　此时(万元)。时取得最大值。答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保可能的亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。【特别提示】1.有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值。2.本题的条件是一组二元一次不等式组，所求目标函数是二元一次线性函数，所以考虑应用线性规划的知识来求解

3、最值。3.应用线性规划求解最值，关键是目标函数相应的直线的倾角的大小，角的大小不一样，直线经过可行域上的最大值点就不一样。例2（2003·北京卷·理·19）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点，且今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医，准备建在的垂直平分线上的处（建立坐标系如图），（1）若希望点到三镇距离的平方和为最小，点应位于何处？（2）若希望点到三镇的最远距离为最小，点P位于何处？【考查目的】本题主要考查二次函数、分段函数的最值、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查分数讨论、

4、数形结合等数学思想方法。【例题详解】（1）由题设可知，，设点的坐标为（），则点至三镇距离的平方和为　　当时，函数取得最小值。点的坐标是（）。（2）解法一：至三镇的最远距离为由记当即时，在上是增函数，而在上是减函数。由此可知，当时，函数取得最小值当即时，函数在上先减后增，当时，取得最小值，而可见，当时，函数取得最小值当时，点P的坐标为；当时，点的坐标为（0，0）。其中。解法二：点至三镇的最远距离为由于是当的图象如图（1）所示。当时，函数取得最小值。当的图象如图（2）所示当时，函数取得最小值。当时，点的坐标为当点的坐标为

5、（0，0），其中【特别提示】1.有关涉及用料最省，成本最低，利润最大，距离和最大（小）等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数最值问题来解决。2.解决第（2）问首先要理解“点到三镇的最远距离”的含义，才能分两种情形列式。3.函数的单调性在求最值中有着重要作用，运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一。4.第（2）问的解法二，借助图象比较大小，直观有效，新颖别致，望加以体会。【例3】如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不

6、计）.新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园（如图所示）问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积.【考查目的】本题考查解析几何，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力，考查数形结合的数学思想方法。【例题详解】以为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程。　四边形ABCD是边长为4的正方形，M为AB中点，点D坐标为（4,　2）由此得4＝2·4　　抛物线方程为设是曲线MD上任一点，则矩形游乐园面积S＝对S求导，得　　　　　令，得　　　　　解之得或　　　　当时，，函数为增函数；当时，，

7、函数为减函数；所以当时，S有最大值。此时，游乐园最大面积为【特别提示】1.通过建系，可把形的问题转化为数的问题来解决。2.商次整式函数的最值通常应用导数来求解。