例举多元函数最值的求法与技巧.doc

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1、例举多元函数最值的求法与技巧湖南省涟源市伏口中学阙昌福[摘要]:多元函数最值问题在初中数学竞赛中占有十分重要的地位,它是竞赛培训的一个难点,它涉及的知识面广,难度大,解法灵活多样.本文通过具体实例介绍几种求多元函数最值的方法:配方法,消元法,判别式法,构造法,不等式法,代换法,冻结变量法.[关键词]:多元函数,最值问题[正文]；例举多元函数最值的求法与技巧一、配方法：配方法是解最值问题的一种基本方法,它的思路是,将问题配成若干个完全平方式的形式.例1：已知ｘ－ｙ＝ａ，ｚ－ｙ＝10,求代数式x2+y2+z2-(xy+yz+zx)的最

2、小值。　解：由已知等式得　x-z=a-10∴x2+y2+z2-(xy+yz+zx)=[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]=[a2+(a-10)2+102]=(a-5)2+75所以当a=5时，所求代数式的最小值为75.例2:求实数x,y的值使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2的值最小。解：原式=5x2+6xy+3y2-30x-20y+46=5(x+-3)2+(y-)2+当x+-3＝0且y-=0时，上式取得最小值此时x=,y=原式最小值为例3:已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个根(

3、k为实数)，求：(x1-1)2+(x2-1)2的最大值。解：设f(k)=(x1-1)2+(x2-1)2由韦达定理知：x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5则f(k)=(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2=(k-2)2-2(k2+3k+5)-2(k-2)+2=－k2－12k=-(k+6)2+36又由⊿＝[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0,得-4≤k≤-∵f(k)在-4≤k≤-　上是减函数。∴当k=-4时，f(k)取最大值。即f(k)=(x1-1)2+(x2-1)2＝32.例4:实数x,y满足2x2-6x

4、+y2=0,求x2+y2+2x的最大值。　解：由题设得：y2=6x-2x2∴x2+y2+2x=x2+6x-2x2+2x=-x2+8x=-(x-4)2+16　　而2x2-6x＝－y2≤0即0≤x≤3,在0≤x≤3上f(x)为增函数　　　所以x=3时取最大值，且最大值为15.例5:实数x,y,z满足条件xy+yz+zx=-1,记s=x2+5y2+8z2,求s的最小值,并求取得最小值时x,y,z的值.解:s=x2+5y2+8z2=(x+2y+2z)2+(y-2z)2-4xy-4yz-4xz由于xy+yz+zx=-1,所以s=(x+2y+

5、2z)2+(y-2z)2+4∴若方程组有实数解时,s的最小值为4.下面解这个方程组:由①得y=2z代入②得x=-6z把y=2z,x=-6z代入③得z2=,∴z=±.而当z=时,x=-,y=;当z=-时,x=,y=-.综上所述,当x=,y=-,z=-或x=-,y=,z=时s有最小值,最小值为4.注：用配方法解多元函数最值问题时，应注意以下两点：①求函数最值时，应考虑自变量的取值范围。②一个复杂的函数式若能写成二次函数型的复合函数，Ｆ(x)=ag2(x)+bg(x)+c.(a,b,c为常数)，也可用配方法求最值。　二、消元法求解多元函

6、数最值问题的主要思想是“转化”，“化多元为一元”具体手段除了配方法外，还有一种重要的方法　　　消元法。当转化为一元函数问题后，要注意该变量的取值范围的变化。例6:已知x,y,z为实数，且x+2y-z=6,x-y+2z=3,求x2+y2+z2的最小值。解：由解得于是　　x2+y2+z2＝x2+(5-x)2+(4-x)2=3(x-3)2+14∴当x=3时，x2+y2+z2有最小值，最小值为14.例7：已知：实数x,y满足x2+4y2=1,求x+5y2的最大值．　　解：由x2+4y2=1得　y2=所以x+5y2=x+=-x2+x+由1-

7、x2≥0知　－1≤x≤1∵对称轴x=-=在-1≤x≤1之间∴x=时，x+5y2有最大值，最大值为例8:三个非负实数a,b,c满足条件3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,记s=3a+b-7c,求s的最大值与最小值。分析：a,b,c三个变量都在变化，欲求最值十分困难，但由题设可将a,b都用c表示，则s可转化为以ｃ为变量的给定区间上的一元函数的最值问题．解：由已知条件得则s=3a+b-7c=3(7c-3)+(7-11c)-7c=3c-2∵a≥0,b≥0,∴解得≤c≤,故，-≤s≤-∴当c=时取最大值，最大值为-;c=时取最小值，最小

8、值为-.小结：由以上几例可以看出，通过消元法可将多元函数转化为一元函数，再通过一元函数的某些性质，求得原函数的最值．三、判别式法把变量看作未知数，将原函数整理成关于该未知数的一元二次方程，利用未知数是实数，可由判别式确定函数的取值范围．应用这种方法