转几类圆问题的“隐性”为“显性”-论文.pdf

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1、试2014年5月备考指南究转几类圆问题的“隐性”为“显性”◎广西希望高中金明珉圆是高中数学的主干知识之一，也是高考必考的知若厶4，DB，：6o。，则DE，：．结合0P，：＼／，有：识点之一．因此，在考查形式上注定要推陈出新．有关圆2的试题的呈现方式有时常表现为“隐”性：条件若明若暗、隐而不含、含而不露．对于题目中显然存在的圆，求，从而．同理，若A，，：120。，jj解时大多没有困难，而对于题目中隐性存在的圆，如果则有2爱综上f的值为或2．我们不能充分挖掘题中的信息，将圆化“隐”为“显”，则一j计算往往会非常繁冗，以致困难．下面笔者结合2013年反总

2、钵题充分体现了等价转化的数学思想，借助全国各地高考试题，谈谈如何将圆化“隐”为“显”，以及伸缩变换把“隐”在椭圆中的圆充分挖掘出来，将椭圆转圆变“显”后给予解题的简捷．化为圆来处理，此法的运算量很小，参考答案更与之无法比拟．原因是：圆相对于椭圆而言，圆具有许多特有的一借助伸缩变换，化椭圆为圆、性质，解决问题相对椭圆而言显然要简单的多，运算量例1(2013年山东卷文科最后一题)在平面直角坐当然也减少了．但问题是：变换前后图形中的一些直线标系xOy中，已知椭圆c的中心在原点0，焦点在轴上，的位置关系和线段的数量关系是否发生变化呢?对于椭短轴长为2，离心

3、率为．圆方程+：1(Ⅱ>6>0)，通，，，fm=_a)，进行旷D、0／(1)求椭圆C的方程；伸缩变换，椭圆变换为圆心+y屹=，实施这样的变换后，若4，，c，··为坐标系xOy中的点，，B，C，⋯为变化(2，为椭圆c上满足△AD的面积为的任4后坐标系O中的点，则有如下结论(证明过程略)：意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆c于点P，设①变换后封闭图形的面积是变换前封闭图形面积￡，求实数的值．的m倍，例如S△A日c=ms△A②若c分线段AB的比为A，则c分线段AB的比也解析：(1)+=1(求解过程略)．为A；特殊地，若c为AB的中点，则c为A日的

4、中点．(2)如图l所示，利③若A，B，c三点共线，则A，B，C三点共线；若用伸缩变换-X，Y：ABfCDAtBtffCDt．、／Y，把椭圆变换成④若直线AB的斜率为k，则直线A～B的斜率为mk．坨+y坨=2，如图2，则有⑤若AB为椭圆的弦(不过点0)，C为AB的中点，则OA=OB=0P，=、／，图1图2有k·0c=一0-．变换后4B为圆的弦(不过点0)，C为oP，上，B，．因为s∞：，所以5：×、／：4AA的中点，且有k邶，·0c一一1．丁V3-3LSAA,o=,=IoA"OB'"sin／A'OB'-X／Y⑥若AB为椭圆的弦(过点D)，c为椭圆上不

5、同于A，一．，所以，222B的点，则有·一0-．变换后B为圆的直径，C为圆矿SinOB=孚，易得OB_6o～OB-12。。．上不同于B的点，且有坩·kB'c=～1．高中版中。7敷．7■一考试研究备考指南2014年5月⑦若4的斜率为k，线段AB的长度为n，则线段A解1]一一_～2勾因三、借助圆的定义进行转化、／1+m=一n．、／百例4(2013年重庆卷理科第l0题)在平面上，上利用上述结论可以方便地求解一些往年的高考试咽ff'II=lI=1，+若<1测Il题．在具体解决椭圆问题时要灵活挖掘“隐性”存在的埔觖圆，椭圆化圆只是让我们多了一种选择，当然也就

6、多了的取值范围是——一条取胜之路．解析：如图4，点B、B2在一D哥一潲瞅，以0为圆心，1为半径的圆上，二、借助圆中角度的性质进行转化．点脏以0为圆心，为半径例2(2013年安徽卷理科第13题)已知直线y=a交的圆的内部．当点腋圆+=抛物线yz于A、点．若该抛物线上存在点c，使得／／。—／ACB为直角，则。的取值范围为——一f__11z上时，考虑：的图4解析：设直线y=n交y轴于点，若要在，，z上存在点情况．由上可知，四边形APB：是正方形．设B：P_c，使得AcB为直角，只需D~(AB为直径的圆与y有交点即可(A、除外)，也就是使AM<~MO，即、

7、／≤o，解，在△B：0P中，由余弦定理得1={2+··TV2-，得口≥1或0≤o．因为a>O，所以n≥1．反思：本题联想到“直径所对的圆周角为直角”这一+2-0，所以=一÷+2’此性质，通过构造圆使问题得以解决．事实上，在圆锥曲线、平面向量中涉及垂直的问题屡见不鲜，有些题目从时l1+(÷)_2．当点晌原点靠近圆这个角度加以思考，定会带来意想不到的效果．例3(2011年大纲全国卷理科第12题)设向量a，b，时，此时的ll>2；当P与原点重合时，ll='c满足lal=lbl=l，若·6=一_=1_，口_c与b—C的夹角为60。，则Icl2、／．综上可知

8、JI的取值范围是(，、／I的最大值等于——一反思：由lI=ll=1，ll<1，联想到“平面上二到定点的距离等于定长的所有点