扩散方程高精度加权差分格式的MATLAB实现-论文.pdf

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1、第24卷第5期四川文理学院学报2014年9月Vo1．24No．5SichuanUniversityofArtsandScienceJournalSep．2014扩散方程高精度加权差分格式的MATLAB实现胡敏(攀枝花学院数学与计算机学院，四川攀枝花617000)摘要：对扩散方程混合问题，利用二阶微商三次样条四阶逼近公式构造其四阶加权差分格式．使用MATIAB软件编程，将问题的解用图像表示出来，通过数值结果验证了该方法的可行性和稳定性．关键词：扩散方程；加权差分格式；高精度；MATIAB中图分类号：

2、O175文献标志码：A文章编号：1674-5248(2Ol4)O5—0015一O40引言2扩散方程的高精度加权差分格式MATLAB是一款具有精确数值计算功能和一维扩散方程丰富图形处理函数的软件，[1]偏微分方程的数值L“：一—一以一ou(xt)∈Q＆z(1)’解可直观地以二维、三维图形方式显示在屏幕上．因此，近年来，越来越多的人开始使用MATLAB其中，扩散系数a为常数．先进行网格剖分，来求解偏微分方程．L2]一维扩散方程是最简单取空间步长h和时间步长r，用两族平行直线—的偏微分方程之一，其定解问

3、题的数值方法有差』=jh(一0，l，⋯，N)和t—=kr(志一0，1，⋯，分法、有限元法和边界元法．本文主要讨论一维扩M)(其中N，M都是正整数)将矩形域Q分割成散方程的一个高精度加权差分格式的MATLAB矩形网格，网格节点为(‘r，t)．用“表示定义实现．[8]在网点(，t)的函数，0，0．利用二阶微商三次样条四阶逼近公式有1求解扩散方程的基本思想(“)J一1+10(工r)+(“)+1一(“J一1—用有限差分法求解偏微分方程问题必须把连2“+j+1)(2)续问题进行离散化，因此求解扩散方程的基本

4、思其中)』表示二阶偏导数“在点(jh，t)想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网处的近似值．格来代替，这些离散点称作网格的节点．_g]由于方程(1)在整个求解区域内成立，于是将把连续定解区域上连续变量的函数用定义在(2)式代人(1)式得网格上的离散变量函数来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地以代数方程组代之，即有限(M)—l+10(Ut)+(“，)川一(“严l一2差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离+／~j+1)(3)散点上的近似解．然后再利用插值方法便可以从由于(3)式在任意时刻均

5、成立，则离散解得到定解问题在整个区域上的近似解．Elo3()±{+10(“)}++(“，)一(“；±}一收稿日期：2014-01—16基金项目：攀枝花学院2012年度一般项目“工程与科学计算中的微分方程新方法及其实现”(2012YB21)作者简介：胡敏(1981一)，女，四川宜宾人．助教，硕士，主要从事微分方程及其应用研究．152014年第5期胡敏：扩散方程高精度加权差分格式的MATIAB实现2M+丰i)(4)symstemp3；a一1：(“，)一。+10(“，)+(“)一(“；一。一l—pi：2

6、“+“+1)(5)T=：：pi2：将(4)式和(5)式分别乘以和1-0(01)N一10：，再相加得M=200；(“，){+1o(“)+(“，)丰j]+(1一h—l／N：)[(“)+10(“，)+()]一(}一to-=T／M；r===(a*to)／h2；2+j)+(1一)(“一一2u+)]forJ一1：N+1(6)x(j)一(j一1)*h；又因为fork一1：M+1(，)+(1一)()一掣+0(rz)t(k)一(k一1)*to；u0(j，k)：==exp(一t(k))*sin(x(j))；(7)en

7、d于是得高精度加权差分格式嘲end(1—120r)u~~i+2(5+120r)u~州+(1—u0求解精确解u0120r)“一[1+12(1一)r]“一+zE5—12(1一O~rJu+[1+12(1一)r]“}1I1(8)forj一1：N+1其中，．=：：h．。x(j)一(j一1)*h；u1(j，1)一sin(x(j))；该差分格式是四阶精度．并且，当妄1时，u2(j，1)===sin(x(j))；u3(j，1)一sin(x(j))；r无限制，即无条件稳定；而当0一<-，1、-时，rendfork一

8、1：M+1，即条件稳定．t(k)一(k一1)*tO；u1(1，k)一0；ul(N+1，k)一0；3高精度加权差分格式的MATLAB编程u2(1，k)一O；u2(N+1，k)一0；利用上述高精度差分格式求扩散方程的近似u3(1，k)一O；u3(N+1，k)一0；解，需要求解一个大型稀疏矩阵方程组，这时采用end迭代法是最合适的，而且计算出的结果也比较精fork—l：M确，且其程序设计简单，能有效地解决一些高阶问forJ一2：N题，是解大型稀疏方程组的一种重要方法．本文采templ一(