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1、高中数学函数及方程思想探究摘要：函数与方程的思想是高中数学的重要思想方法之一。函数的思想即将方程及不等式的问题转化为函数的问题，借助函数的图像及性质进一步解决问题；方程的思想是把y二f(x)函数看做方程f(x)-y=0的问题，利用方程进一步研究。关键词：数学；函数思想；方程思想一、知识内容1.函数的思想就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。2.方程的思想就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域
2、的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。二、典例分析1.(题型1)构造函数，并利用函数的图像和性质来解决有关问题例1若xl满足2x+2x二5,x2满足2x+21og2(xT)二5,求xl+x2的值。分析：方程2x+2x=5与方程2x+21og2(x-1)二5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。解：由2x+2x二52x二5-2x2xT二-x…(1)2x+21og2(x~l)=521og2(xT)=5~2xlog2(xT)二-x…(2)由(1)式知xl可以看做函数y=2x-l与函数y二
3、-X的产生的交点A的横坐标；由(2)式知x2可以看做函数y=log2(x-1)与函数y=-x产生的交点B的横坐标。而y=2xT与y=log2(xT)分别由y二2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-l与log2(x-1)函数图像关于y=x-l直线对称。因为y=x-l与y=-x互相垂直，其交点C坐标为(，)，同时A、B两点关于C点对称，所以xl+x2二2X二。点评：本例由已知方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。变式：设％bER且(8-1)3+2002(a-1)二T，(bT)3+2002(b-1)=1,求a
4、+b的值。分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f(X)=x3+2002x,有f(aT)=-f(bT),知y=f(x)为奇函数且y二f(x)在R递增的，f(a-1)二f(1-b)a-l=l-ba+b=2o例2设不等式2x-l>m(x2-l)对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。分析：不等式f(x)(x)恒成立，往往都是构造F(x)=f(x)-g(x),往求F(x)min,使得F(x)min^O,即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F(x)=2x-l-m(x2~l),mW[-2,2],往求F(x)min,利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F(m)
5、二(x2-l)m-(2x~l),-2WmW2,彳主求F(m)max,即可使得F(m)maxO,dHl)。(1)当a>l时，求证：函数f(x)在(0,+s)单调递增。(2)若函数y=f(x)-1-1有三个零点，求的值。分析：函数y=f(x)-t~l有三个零点转化方程f(x)-t-l=0有三个根，再转化成f(x)二t土1方程有三个根，再转化成函数y=f(x)与函数y=t土1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。解：(1)f'(x)=axlna+2x-lna=(ax~l)lna+2xoVx>0,a>l,/.ax>l,ax~l>0,lna>0,2x>0o(ax~l)lna+2x>0,即f
6、‘(x)>0o/.y=f(x)在(0,+-)是单调递增的。(2)函数y=f(x)-t-l有三个零点？圳方程f(x)-tT二0有三个根？圳f(x)二t±l方程有三个根？圳函数y二f(x)与函数f二t±l有三个交点。由(1)式知当a>l时，函数f(x)在(0，+8)单调递增，f'(x)=(ax-1)lna+2x,当a>l时，若x0,2x1时，y=f(x)在(-°°,0)单调递减。当00时，ax~10,/.(ax~l)lna0o当a〉l时，y=f(x)在0)单调递增。当00lnat-1,/.y=t-l=f(0)二1时，且t二2时满足要求。/.t=2o点评：本例巧妙利用函数与方程相互转化的
7、思想解决问题。总之，函数与方程的思想在髙中数学中是一种非常重要的思想和方法，涉及的知识点多，也是高考考查的重点，我们只有教会学生去分析问题、转化问题，才能达到解决问题的目的。(南昌大学附中)
