湖南省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练24 解答题专项训练(函数与导数) 文.doc

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1、专题升级训练24　解答题专项训练(函数与导数)1．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．3．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2

2、)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？4．某高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入．(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？5

3、.已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．(1)讨论f(x)＝ex－ax－1(a∈R)的单调性；(2)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥f(－x)．6．已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值2，设函数y＝f(x)图象上任意一点(x0，f(x0))处的切线斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)若对于任意0＜x1＜x2＜1，存在k，使得k＝，求证：x1＜

4、x0

5、＜x2.7．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.(1)求f(x)的解析式及单调区间；(2)若f(x)≥x2＋ax

6、＋b，求(a＋1)b的最大值．8．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a＞0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x＞0)．-5-参考答案1．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0

7、，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，即2x－≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，只需a≤(2x3)min，x∈[2，＋∞)，∴a≤16.∴a的取值范围是(－∞，16]．2．解：(1)f(x)＝ax＋＋b≥2＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1时，f(x)取得最小值为b＋2.(2)由题意得：f(1)＝a＋＋b＝，

8、①f′(x)＝a－f′(1)＝a－＝，②由①②得：a＝2，b＝－1.3．解：(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)＝(2)设0＜x1＜x2＜1，f(x1)－f(x2)＝＝，∵0＜x1＜x2＜1，∴2x1＜2x2，2x1＋x2＞20＝1，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，∴＜f(x)＜，即f(x)∈.同理，f(x)在(－1,0)上的

9、值域为.又f(0)＝0，∴当λ∈∪，或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解．4．解：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列，-5-则f(n)＝500n－－720＝－20n2＋400n－720.(1)获取纯利润就是要求f(n)＞0，故有－20n2＋400n－720＞0，解得2＜n＜18.又n∈N*，知从第三年开始获取纯利润．(2)①年平均利润＝400－20≤160，当且仅当n＝6时取等号．故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n＝6.②f(n)＝－20

10、n2＋400n－720＝－20(n－10)2＋1280，当n＝10时，f(n)max＝1280.故此方案共获利1280＋160＝1440(万元)．比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．5．(1)解：f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞lna；令f′(x)＜0，得x＜lna.综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞