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时间:2020-03-31
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1、高二数学上学期曲线和方程例题(五)[例1]在△ABC中,已知顶点A(1,1),B(3,6)且△ABC的面积等于3,求顶点C的轨迹方程.选题意图:考查求轨迹方程的基本方法. 解:设顶点C的坐标为(x,y),作CH⊥AB于H,则动点C属于集合P={C|},∵kAB=.∴直线AB的方程是y-1=(x-1),即5x-2y-3=0.∴|CH|=化简,得|5x-2y-3|=6,即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0,这就是所求顶点C的轨迹方程.说明:顶点C的轨迹方程,就是定直线AB的距离等于的动点的轨迹方程.[例2]过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,
2、求线段AB的中点M的轨迹方程.选题意图:考查综合分析问题解决问题的能力. 解法1:设点M的坐标为(x,y),∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y),∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.而kPA=整理,得x+2y-5=0(x≠1) ∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4).∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法2:设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连接PM,∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|
3、,而|PM|=用心爱心专心化简,得x+2y-5=0,为所求轨迹方程.说明:因为解法2中没有利用斜率公式,所以避开了x≠1和x=1的讨论. [例3]已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.解:设△ABC的重心为G(x,y),顶点C的坐标为(x1,y1),由重心坐标公式得代入得3,即为所求轨迹方程.说明:在这个问题中,动点C与点G之间有关系,写出C与G之间的坐标关系,并用G的坐标表示C的坐标,而后代入C的坐标所满足的关系式化简整理即得所求.用心爱心专心
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