高二数学 上学期曲线和方程例题（二）

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1、高二数学上学期曲线和方程例题（二）例1过定点A（a,b），任作互相垂直的直线l1和l2，分别与x轴、y轴交于M、N点，求线段MN中点的轨迹方程.说明：要求学生注意求解曲线轨迹方程一般步骤的应用.解：设线段MN的中点为P（x,y），则点M（2x,0）,N(0,2y).根据勾股定理得

2、AM

3、2+

4、AN

5、2=

6、MN

7、2即（a－2x）2+b2+a2+(b－2y)2=(2x)2+(2y)2化简得2ax+2by－a2－b2=0例2动点B在直线y=2x上滑动，x轴上有一定点A（3，0），求△OAB的重心G的轨迹方程.分析：在曲线

8、轨迹方程求出之后，应注意应根据题意考查特殊点是否符合题意.解：设△OAB的重心G（x,y），B（x1,y1）,则x=∴x1=3x－3,y1=3y又∵点B（x1,y1）在直线y=2x上∴3y=2(3x－3)即2x－y－2=0此直线平行于直线y=2x，与x轴交点（1，0）不符题意，应除去.所以所求重心轨迹方程为：2x－y－2=0(x≠1)●相关高考真题例1（1999全国）如图，给出定点A（a,0）（a＞0,a≠1）和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的

9、曲线类型与a值的关系.解法一：依题意，记B（－1，b）(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx.设点C（x,y），则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得①依题设，点C在直线AB上，故有.由x－a≠0,得②将②式代入①式得整理得若y≠0，则（1－a）x2－2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a）若y=0，则b=0,∠AOB=π，点C坐标为（0，0）满足上式.故点C的轨迹方程为（1－a）x2－2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)∵a≠1∴（0≤x＜

10、a）由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段；当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（ⅰ）当

11、BD

12、≠0时，设点C（x,y），则0＜x＜a,y≠0.由CE∥BD.得

13、BD

14、=∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，∴2∠COA=π－∠BOD整理得(1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0（0＜x＜a）(ⅱ)当

15、BD

16、=0时，∠BOA=π，则点C坐标为（0，0），满足上式，综合（ⅰ），（ⅱ）得到C的轨迹方程为（1－a）x2

17、－2ax+(1+a)y2=0（0≤x＜a）以下同解法一.例2（1995年全国）已知椭圆直线l：x=12，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足

18、OQ

19、·

20、OP

21、=

22、OR

23、2.当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：设点P、Q、R坐标分别为（12，yP）,(x,y)，（xR,yR）,由题设知：xR＞0,x＞0.由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组①②解得由点O、Q、P共线，得即③由题设

24、OQ

25、·

26、OP

27、=

28、OR

29、2，得将①、②、③代入上式，整理得点Q的轨迹方程：(x＞

30、0)所以，点Q的轨迹是以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和，且长轴在x轴上的椭圆，但去掉坐标原点.说明：此题虽与学生学习进度不符，但求解过程体现求曲线轨迹的思路，供教师参考.