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时间:2020-03-31
《高中数学竞赛讲义 抽屉原理(练习题) 新人教A版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§23抽屉原理课后练习1.幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.2.正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.3.把1到10的自然数摆成一个圆圈,证明一定存在在个相邻的数,它们的和数大于17.4.有红袜2双,白袜3双,黑袜4双,黄袜5双,蓝袜6双(每双袜子包装在一起)若取出9双,证明其中必有黑袜或黄袜2双.5.在边长为1的正方形内,任意给定13个点,试证:其中必有4个点,以此4点为顶点的四边开面积不超
2、过(假定四点在一直线上构成面积为零的四边形).6.在一条笔直的马路旁种树,从起点起,每隔一米种一棵树,如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位),这是为什么?用心爱心专心课后练习答案1.解从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿)把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原则1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同
3、.原则2如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.原则1可看作原则2的物例(m=1)2.证明把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原则二,至少有三个面涂上相同的颜色.3.证明如图12-1,设a1,a2,a3,…,a9,a10分别代表不超过10的十个自然数,它们围成一个圈,三个相邻的数的组成是(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),(a3,a4,a5),…,(a9,a10,a
4、1),(a10,a1,a2)共十组.现把它们看作十个抽屉,每个抽屉的物体数是a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,…a9+a10+a1,a10+a1+a2,由于(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)=3(a1+a2+…+a9+a10)=3×(1+2+…+9+10)根据原则2,至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有三个相邻的数的和不小于17.原则1、原则2可归结到期更一般形式:原则3把m1+m2+…+mn+k(k≥1)个物体放入n个抽屉里,那么或在第一个抽屉里至少放入m1
5、+1个物体,或在第二个抽屉里至少放入m2+1个物体,……,或在第n个抽屉里至少放入mn+1个物体.用心爱心专心证明假定第一个抽屉放入物体的数不超过m1个,第二个抽屉放入物体的数不超过m2个,……,第n个抽屉放入物体的个数不超过mn,那么放入所有抽屉的物体总数不超过m1+m2+…+mn个,与题设矛盾.4.证明除可能取出红袜、白袜3双外.还至少从其它三种颜色的袜子里取出4双,根据原理3,必在黑袜或黄袜、蓝袜里取2双.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了“存在”
6、、“总有”、“至少有”,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.制造抽屉是运用原则的一大关键首先要指出的是,对于同一问题,常可依据情况,从不同角度设计抽屉,从而导致不同的制造抽屉的方式.5.证明如图12-2把正方形分成四个相同的小正方形.因13=3×4+1,根据原则2,总有4点落在同一个小正方形内(或边界上),以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,也就不超过整个正方形面积的.事实上,由于解决问题的核心在于将正方形分割成四个面积相等的部分,所以还可以把正方形按图12-3(此处无图)所示的形式分割.合理地制造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点
7、的基础上.6.解如图12-4(设挂牌的三棵树依次为A、B、C.AB=a,BC=b,若a、b中有一为偶数,命题得证.否则a、b均为奇数,则AC=a+b为偶数,命题得证.下面我们换一个角度考虑:给每棵树上编上号,于是两棵树之间的距离就是号码差,由于树的号码只能为奇数和偶数两类,那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数,它们的差必为偶数,问题得证.用心爱心专心后一证明十分巧妙,通过编号码,将两树间距离转化为号码差.这种转化的思想方法是一种非常重要的数学方法用心爱心专心
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