高三数学解题方法谈：善于沟通的函数零点.doc

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1、善于沟通的函数零点　　函数的零点是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介，让我们看看它的沟通能力吧．　　一、沟通函数与图象　　例1　若函数有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a的取值范围．　　分析：依题意，函数有两个不同零点，即图象和x轴有两个交点，如图1，我们只需利用函数有零点的条件，即可求出a的取值范围．　　解：作出函数的图象，如图1，　　易得　　　解得　，　　因此a的取值范围是（－10，－1）．　　评注：有关二次函数零点分布问题，可仿此法求解，重点是找图象的特征，有时还需要结合对称

2、轴．　　例2　函数和的图象的交点有（　　）．　　（A）1个　　　　（B）2个　　（C）3个　　　　（D）4个　　解析：在同一坐标系中，分别作出两函数的图象，如图2，在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？若有，是1个还是2个（其他情况不可能）？通过图象很难断定，下面我们利用存在零点的条件来解决这个问题，两函数图象的交点的横坐标就是函数的零点，其中，所以在直线x=1右侧，函数有两个零点．一个在（1，2）内，一个在（2，4）内，故函数共有3个零点，即函数和的图象有3个交点，故选（C）．　　评

3、注：在例1中我们借助了函数图象的直观性很好地解决了问题，但通过例2我们发现，图象也有它的缺点，那就是很难细致入微，我们只好又返回函数来解决问题，这正如华罗庚先生所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好．　　二、沟通方程与图象　　例3　若方程有两个不相等的实数根，求b的取值范围．　　解析：因为，所以，方程有两个不相等的实数解，就是函数在［0，+∞）上有两个不同的零点，函数可视为关于的一元二次函数，令，可得，作出它的图象，如图3，通过观察图象应有，解得，即b的取值范围是．　　三、沟通函数与方程　　例

4、4　设和的图象在［a，b］上是连续不断的，且，证明：在（a，b）内存在一点，使．　　分析：证明的问题可以转化为方程在（a，b）内有解，进而转化为函数在（a，b）内有零点．　　证明：令，　　∵，　　∴．　　∴函数Ｆ（x）=f（x）-g（x）在（a，b）内有零点．　　∴方程在（a，b）内有解．　　即在（a，b）内有解．　　∴在（a，b）内存在一点，使．