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时间:2020-03-31
《高三数学解题方法谈:善于沟通的函数零点.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、善于沟通的函数零点 函数的零点是沟通函数、方程、图象的一个重要媒介,让我们看看它的沟通能力吧. 一、沟通函数与图象 例1 若函数有两个零点,且一个在(-2,0)内,另一个在(1,3)内,求a的取值范围. 分析:依题意,函数有两个不同零点,即图象和x轴有两个交点,如图1,我们只需利用函数有零点的条件,即可求出a的取值范围. 解:作出函数的图象,如图1, 易得 解得 , 因此a的取值范围是(-10,-1). 评注:有关二次函数零点分布问题,可仿此法求解,重点是找图象的特征,有时还需要结合对称
2、轴. 例2 函数和的图象的交点有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 解析:在同一坐标系中,分别作出两函数的图象,如图2,在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现,在其右侧有无交点呢?若有,是1个还是2个(其他情况不可能)?通过图象很难断定,下面我们利用存在零点的条件来解决这个问题,两函数图象的交点的横坐标就是函数的零点,其中,所以在直线x=1右侧,函数有两个零点.一个在(1,2)内,一个在(2,4)内,故函数共有3个零点,即函数和的图象有3个交点,故选(C). 评
3、注:在例1中我们借助了函数图象的直观性很好地解决了问题,但通过例2我们发现,图象也有它的缺点,那就是很难细致入微,我们只好又返回函数来解决问题,这正如华罗庚先生所说:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好. 二、沟通方程与图象 例3 若方程有两个不相等的实数根,求b的取值范围. 解析:因为,所以,方程有两个不相等的实数解,就是函数在[0,+∞)上有两个不同的零点,函数可视为关于的一元二次函数,令,可得,作出它的图象,如图3,通过观察图象应有,解得,即b的取值范围是. 三、沟通函数与方程 例
4、4 设和的图象在[a,b]上是连续不断的,且,证明:在(a,b)内存在一点,使. 分析:证明的问题可以转化为方程在(a,b)内有解,进而转化为函数在(a,b)内有零点. 证明:令, ∵, ∴. ∴函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)内有零点. ∴方程在(a,b)内有解. 即在(a,b)内有解. ∴在(a,b)内存在一点,使.
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