固体物理习题3.ppt

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1、第三章晶格振动3.1原子质量为m，间距为a的一维单原子链，如果原子的振动位移为试求：（1）格波的色散关系；（2）每个原子对时间平均的总能量。解：(1)式中，为原子位移；为恢复力常数。个原子的运动方程可写成（1）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第n依题设，原子的振动位移可表示为(2)将(2)式代入(1)式，得因为因此故得格波的色散关系为（2）原子链上总能量可写为其中求和遍及链上的所有原子。又因为一维单原子链的色散关系为或者所以得平均总能量3.2证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维复式格子中，如果波矢q取边界值(a为相邻原子间距)，则在声学支上，质量为m的

2、轻原子全部保持不动；在光学支上，质量为M的重原子保持不动。证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，...各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。amM2n-32n-22n-12n2n+12n+22n+3设试探解为和式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；为角频率；为波矢。令表示原子间的恢复力系数，运动方程写为将试探解代入运动方程有经整理变成(1)要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零，从中解得(2)式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支格波。上式表明，是q的周期函数，边界值，即。当q取时，从

3、(2)式得将和依次代入(1)式，得到两种原子的振幅比分别为光学支：声学支：因为而且当时，cosaq=0由上式得到由此可见，当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动(A=0)，光学支中重原子也保持不动(B=0)。3.3一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为a，任一个原子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为和，试列出原子的运动方程并求出色散关系。123n-1nn+1n+2N-1Na解：此题为一维双原子链。设第个原子的位移分别为。第与第个原子属于同一原子，第与第个原子属于同一原子，于是第和第原子受的力分别为其运动方程分别为设格波的解分别为代入运动方程

4、，得整理得由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即解上式可得由上式可知，存在两种独立的格波。声学格波的色散关系为光学格波的色散关系为3.4由原子质量分别为两种原子相间排列组成的一维复式格子，晶格常数为，任一个原子与最近邻原子的间距为，恢复力常数为，与次近邻原子间的恢复力常数，试求（1）格波的色散关系；（2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用得将的值代回方程得到色散关系（2）（a）当上式取‘+’号时为光学波当时：当时：（b）当取‘-’号时为声学波当时：当时：3.5证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格，每单位频率间隔

5、内的振动模式数为证明：一维单原子链只有一支格波据模式密度的一般表示式（1）因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度，且只有一支格波。所以由（1）式得得3.6设有一维连续介质，介质的弹性模量为E，线密度为试建立一维波动方程并求弹性波传播的相速度。，解：设有一坐标为x与x+dx间的介质元,t时刻x点处的位移为u=u(x,t),x+dx点处的位移为u+du。于是，应变为以E表示弹性模量，按定义，式中f是引起形变的力。作用在介质元dx上的净力为设介质的线密度为，介质元的质量为，则有即(1)这就是连续介质的波动方程，其解为式中，为介质弹性波的角频率；为波矢；是波长。将u(x,t)代入(1)式，

6、得到即因此，一维介质弹性波传播的相速度为3.7证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程解：如果只计及近邻原子间的相互作用，第n个原子的运动方程为因为所以第n个原子的运动方程化为在长波近似下，运动方程又化为（1）在长波近似下，当l为有限整数时，上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动。因此（1）式可统一写成第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些原子的整体的运动所构成。这些原子偏离平衡位置的位移，即是宏观上的质点位移。从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离可视为连续坐标x，即于是（2）式化为

7、其中是用微观参数表示的弹性波的波速。3.8设有一个由相同原子组成的二维正方点阵，原子质量为M，晶格常数为a，取近邻原子间的恢复力系数为，设原子只作垂直表面的横向振动。试求2)长波极限下格波的传播速度。1)横向晶格振动的色散关系；解：1)设垂直于晶格平面的位移，如图所示。当只考虑最近邻原子间的互相作用时，由于（l+1，m）原子对它的作用力代表第（l，m）个原子（第l行、m列的原子）第（l－1，m）原子对它的作用力而和方向是相反的。（l，m－1）原子对（l，m）原子的和得第（l，m）