函数最值几种解法在高中数学教学中的应用-论文.pdf

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1、·中学教学·函数最值几种解法在高中数学教学中的应用福建省南安市国光第二中学陈江海最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和22【解析】：由条件ab26的形式知，可利用三角换元日常生活有着广泛的应用，而且在中学数学中也占有比较重要法求ab的最值的位置，函数最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，是∵abRa,,2622b历年高考重点考查的知识点之一，在高考中，他经常与三角函∴令a6cos，26bsin，R.数、二次函数、一元二次方程、不等式等知识紧密联系，并在∴ab6cos3sin3sin()一些基础

2、题，小综合的题或难题的形式出现，在高考中有举足∴ab的最小值是－3.故填－3.轻重的地位。并且由于解法灵活、综合性强，能力要求高，要【例3】设对所于有实数x，不等式求全面，故而本人现拟对求函数最值问题的方法进行探究，以224(aa1)2(a1)恒成立，求a的取值xxlog2loglog0便给自己或同学提供一些初等的求解方法。下面就该问题的常2222aa14a用解法，分类浅析如下，供参考．范围。一、配方法4(a1)、2a2【解析】不等式中、(1a)三log2log2log22配方法是求二次函数最值的基本方法，是对数学式子进行aa1

3、4a项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已法。知和未知的联系，从而化繁为简。如f()xafxb()2fxc()的函【解】设2a，则数的最值问题，可以考虑用配方法．tlog2a1【例1】已知函数yeaeaaR()()xx22(,0a)，求函4(aaa1)8(1)1loglog3log222数y的最小值．aaa222a2【解析】：将函数表达式按xx＝3log3t，(1aa)1，ee配方，转化为关于变量2log2222log2ta

4、14a2axxee的二次函数．代入后原不等式简化为(3tx)22tx2t0，它对一切实数xx22yeaea()()x恒成立，所以：＝()eexx222a()eexx2a230tt3，解得令teexx，ftt()222at2a2248ttt()30tt06或∵t2，∴ftt()222at2a2(ta)2a22的定义2a∴t0即log02域为[2，＋∞)．a1∵抛物线yft()的对称轴为ta0<2a<1，解得0

5、0时，yf(2)2(a1)2；min【注意点】：在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值当a2时，yf()aa22范围．min【注意点】：利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变三、函数单调性法量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函二、换元法数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一某些变量(或代数式)，它可以化高次为低次、化分式为整式、化问中出现．无理式

6、为有理式、化超越式为代数式，便使问题得以解决的一【例5】设a1，函数f()logxx在区间[,2]aa上的最大a种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换值与最小值之差为1，则a________.元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择2换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最【解析】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数值问题，从而求出原函数的最值．例如解不等式：4220xx，的最值，然后利用条件求得参数a的值．先变形为设t2x(0t)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和∵a1指数方程的

7、问题。再如x222yr(0r)时，则可作三角代换∴函数f()logxxa在区间[,2]aa上是增函数xrcos、yrsin化为三角问题等。∴函数在区间[,2]aa上的最大值与最小值分别为log2aa，【例2】设abRa,,2622b，则ab的最小值是______．logaa194·中学教学·又∵它们的差为1，∴log21，a4.填4.【注意点】：判别式法的应用，对转化的a222(1yxyxy)(33)440来说，应该满足二次项系数不为0，【注意点】：解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给对二次项系数为0时

8、，要另行讨论，对本题若y10，即y1，定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一有(33)x4