差分系统吴特征列法求符号解-论文.pdf

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1、2014年6月宁波职业技术学院学报第18卷第3期JournalofNingboPolytechnicV01．18No．3差分系统吴特征列法求符号解王慧(黑龙江工业学院，黑龙江鸡西158100)摘要：针对医学领域无法解决的传染病感染问题，将差分系统的吴特征列方法实际应用于一类离散时间的SIR传染病模型的精确求解，并对求得模型解的结构进行分析，从而为传染病学的研究提供可靠数据。结果表明．该方法有助于同类传染病的控制及防范。关键词：差分方程；特征列；符号解中图分类号：O29文献标志码：A文章编号：1671-21

2、53(2014)03—0084—030引言：kEF，’传染病模型研究是医学史上的一个重要分将一类离散时间SIR传染病模型转化数学模型为支，传染病的防治是关乎人类健康、社会稳定、经济发展的大课题。由于近年来，数学在各个领域的誓一，成功运用，建立数学模型来解决医学难题已经得-kEE，到社会各界的广泛关注。例如文献[2】选取离散的SI模型、SIS模型和SIR传染病模型进行研究，但d／／：mE。下大多文献仅限制于求解的性质及变化趋势。本文由于函数F(t)，E(t)，H(t)随着时间t的变化将SIR病毒模型转化为一

3、致真不可约的差分升趋稳定且光滑的．所以方程组可做变量替换转化列。运用差分系统的吴特征列方法进行符号求解，为差分升列。并借助求得的解析解图像来分析此类传染病的发病率及稳定性。2SIR模型转化为差分多项式组方程组(1)转化为以时间t为变量的函数：F(t+At)-F(t)一一E()F()一At，A：一kE(t)F(t)一mE(f)，(2)tA=：mE(t)。t将方程组(2)做变量替换t=nAt，令替换后的变量差分At=l，可使方程组(2)转化为学院助教，研究方向为数学机械化。王慧：差分系统吴特征列法求符号解F(

4、n+1)一F(n)=一kF(n)E(n)，I零点存在，即方程组：E(n+1)-E(n)=kF(n)E(n)一mE(n)，}(3)yl(n+1)-y1(n)+后yl(n)y2(n)=0，1H(￡+1)一H(￡)=mE(t)。lyz(n+1)-y2(n)-kyl(n)y2(n)+my2(n)=0J由于方程组(3)中前两个方程与第三个方程解一定存在，也就是说该传染病模型在有解前提中变量不同，因此前两个方程变换不影响第三个下患病性质是稳定的。方程。所以在只考虑前两个方程的前提下，令：文献[4】指出在多项式求解中，

5、需要判断其是F(n)1(rt)，E(n)=yz(n)，否为真不可约的，即是否能将差分多项式分解为方程组(3)可以转化为几个多项式相乘的形式，若不可约则返回的升列yl(n+1)-yl(n)+kyl(n)yz(n)=O，为一致真不可约升列，经算法运算后多项式组Dy2(n+1)—(n)一y1(n)y2(n)+my2(n)=O。可返回一个一致真不可约的升列D={，D，D}，其3利用差分系统的吴特征列方法求解中月为D对D做差分伪余的伪余式。R：一kyL(n)y1(n+2)+kyL(n)yl(n+1)+ky~2(n+

6、1)一本文应用差分系统的吴特征列方法对多项式ky1(n+1)Yl(n)+k2y,2(n+1)Yl(n)～l(n+1)·组进行分析和求解。y2(n)-kmy2(n+1)+kmyl(n+1)yl(n)，令差分升列为D={D。，D：}，由于差分多项式个式中：D】>R，D2>，且D，D2，关于均为可约数有限，可分为两组，记}，(Dz)。其中：化的，D，D：关于R的伪余式均为零。因此D的一{Dj}=yl(n+1)1(n)+kyj(n)y2(n)，致拟差分特征列为D。的基列=，D，D：}，其中{D2}=)，2(+1)

7、-y2(n)一ky1(n)y2n)。根据差分系统吴方法的求解原则l引，需先判定，D，D都是一致真不可约多项式，而且余式中未知变量唯一，因此要求得差分多项式组的解只多项式组的有效性，若无效需对其做有效变换，下需对差分伪余式R求解即可。面介绍一下如何判定其有效性。假设一个差分多项式环K{y，yz，⋯，}，对任就现阶段数学研究水平，对高阶变系数差分方程求得精确解还有一定难度，因此在求解过程意的DEK[y，y2，⋯，Y}，我们称D中出现的yi(x+中往往需要利用某些手段或方法使其系数具有稳)的最大下标为D关于Y的

8、最高阶数，记为ord定性。例如求解的很多传染病模型，从实际意义上(厂，Y)；称D中出现的()的最小下标为最小讲单纯依靠现阶段的防治手段及医疗水平是无法阶数lord(厂，Y)；多项式中最高阶数与最低阶数的治愈的，即使治愈也不排除复发或其他并发症的差记为有效阶数eord(厂，yi)，其中eord(D，yi)=ord产生，所以此类传染病模型绝对治愈的可能性趋(D，yi)一lord(D，Y)；若多项式中关于Y的最高阶数近于零。为方便求