数学解题中的规定动作与自选动作

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1、·l6·中学教研(数学)2010盎数学解题中的规定动作与自选动作●吴文尧(北仑中学浙江宁波315800)马克思说过“数学是思维的体操”．众所周知，(2009年江西省数学高考文科试题改编)现在的体操比赛分规定动作的比赛与自选动作的解由．厂()=3x一9+6=3(一1)(一比赛，作为思维体操的数学，其实也有规定动作与2)=0，得自选动作之分．在高考数学试卷中规定动作所占的1=1，2=2．比例要大一些，而自选动作所占的比例相对要小一)=O有且仅有1个实根等价于。)厂(：)>O，点，且有时很难做到严格分类．在高考复习中，如何即-厂(12)>0，因此面对

2、规定动作与自选动作的问题呢?本文以有关，、I口一手}(口一2)>0，三次函数的问题为例，讨论应对策略，供大家参考．、-，1规定动作问题——熟悉解题程序，操作正确规解得口<2或0>÷．二范例2已知函数)=一3x—ra一1的图像三次函数问题一直是近几年高考数学中的一与轴有3个不同的交点，求／'／／,的取值范围．个热点问题，通常涉及三次函数的解析式的确定、(2009年陕西省数学高考文科试题改编)单调性问题、函数图像的切线方程、函数的零点个解由／()=3x一3=3(+1)(一1)=0，数问题、函数中的参数范围问题、三次函数的综合得1=一1，2=1．应用

3、问题等．其中除最后2个问题以外，都应属于厂()=0有且仅有3个实根等价于。))<0，规定动作的范畴对于规定动作问题，通常可用程即一1)1)<0，因此序化的方法解决之．若能熟悉其解题一般程序，则(m+3)(m一1)<0，只须按程序规范操作，即可得到所需的结论．例如解得一3

4、难题”，对于这类问题若能剥去其过度的“包装”，看到问题的本质，还是数学中的规定动作，因此不难得到解决；其二是对数学能力要求较高的真难题，即所谓数学中的自选动作，解决这类问题虽然没规定的套路，但解决问题的总的指导思想是不会改变的，若能注意运用函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法去分析和解决问题，则往往能找到解决问题的通途．例3已知函娄厂()=(1—2a)x+(9a-4)x+图1(5—12a)x+4a(n∈R)在区间[0，2]上的最大值是2，求。的取值范围．例1设方程厂()：3一92+6x-a~-_R42(2009年浙江省数学调研

5、试题改编)有1个实根，求。的取值范围．分析(1)当n的值确定时，f(x)在区间[O，第6期吴文尧：数学解题中的规定动作与自选动作·l7·2]上的最大值也随之确定．从理论上讲，其最大值由÷<口<，得9口<4，因此f)<2=2)，可以表示成关于口的函数h(o)，解方程h(口)=2此时，()在[O，2]上的最大值为2．可得到口的值．但这个想法有以下2个方面的不足：①求函数h(口)的解析式是一件很不容易的事，(4)当o=÷时)是Eo，1]上的减函数，是没有可操作性；②照理可求出口的值，而问题所要[1，2]上的增函数，因此f()在[0，2]上的最大值的结

6、论是求口的取值范围，因此题目中可能还隐藏为max{0)2)}=2．着其他的“机关”．(2)注意到函数)在区间[0，2]上的最大值(5)当n=÷时()=(一1)I>0是[o，2]只可能在边界点的函数值及在这个区间上的极值上的增函数，因此厂()在[0，2]上的最大值为点的函数值中产生，因此必有0)≤22)≤2成2)=2．立，由此可缩小“包围圈”．在操作过程中未必要真综上所述，口的取值范围是0≤口≤÷．的求出其最大值，只需在区间[0，2]上的极值点的函数值不大于2且可以取到2即可．评注这种解法的指导思想是运用分类讨论解法1(分类讨论，逐个击破)的思想

7、，把需要论证的问题分解成若干个小问题，因为)=(1—2a)+(90—4)+(5—然后逐个击破之．因此总的解题思路显得很自然，12a)+4a(口∈R)，所以在操作过程中要注意利用：1是其中的一个极值厂()=3(1—2a)+2(90—4)+(5—12a)=点，边界点的函数值0)≤2，先把n的取值范围(一1)[3(1—2a)一(5—12a)]．压缩到0≤0≤1，但后面的论证过程显得比较繁记￡=(其中。≠1)，由=1，可得。=杂．若能大胆猜想0≤口≤÷就是n的取值范围，则_1i_．由题意可知0)=4a≤2，解得口≤÷．又因为对其论证过程可作必要的修正，

8、如通过改变主元的对任意0∈R2)=2恒成立，所以方法，简化证明过程．1)=一口+2≤2，解法2(大胆猜想，小心论证)得0≥O，故0≤口≤_1．由题意可