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1、4.2.3直线与圆的方程的应用1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题.2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建二算三译”.解决与圆相关的实际问题的步骤剖析:解决此类问题的基本步骤如下:(1)阅读理解,认真审题.做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景
2、,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学问题的转化.(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型.根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计算做准备.(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予
3、以解答,求得结果.(4)翻译成具体问题.题型一题型二【例1】如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.题型一题型二证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①题型一题型二反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题.题型一题
4、型二【变式训练1】如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:
5、AP
6、2+
7、AQ
8、2+
9、PQ
10、2为定值.证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.
11、AP
12、2+
13、AQ
14、2+
15、PQ
16、2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).题型一题型二【例2】某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高O
17、P是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01m)题型一题型二解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以题型一题型二故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入上式,解得答:支柱A2P2的长约为5.39m.题型一题型二反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用坐标法
18、解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.题型一题型二【变式训练2】一座圆形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2m,水面宽为12m,问:水面下降1m后,水面宽多少米?解以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B(A在B的右侧),则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①将点A的坐标
19、(6,-2)代入①,解得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②当水面下降1m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)
