《非紧系统的次可加拓扑压》.pdf

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1、2015年6月纯粹数学与应用数学Jun．2015第31卷第3期PureandAppliedMathematics、b1．31No．3非紧系统的次可加拓扑压杨宇，张秀芬(西北大学数学学院，陕西西安710127)摘要：利用逆紧映射、容许覆盖等概念，将紧系统上的次可加拓扑压推广到非紧系统上，给出了次可加拓扑压的定义，并讨论了非紧系统上次可加拓扑压的性质．关键词：非紧系统；逆紧映射；容许覆盖；次可加拓扑压中图分类号：0189．1文献标识码：A文章编号：1008—5513(2015)03—0265—08DOI：10．3

2、969／j．issn．1008—5513．2015．03．0071引言在测度论中，古典的Carath~odory构造是由Carath6odory在文献f11中给出的．文献f21介绍了一种新的构造，这种构造是古典Carath~odory构造的推广，它引出了一些具有维数性质的量，例如Hausdorf维数、拓扑熵等，称这种构造为Carath~odory—Pesin结构f简称为C—P结构)，它是研究维数论和动力系统的重要工具．此外，文献[3]利用C—P结构给出了紧系统上不可加拓扑压的维数定义．文献[4]利用逆紧映射、

3、容许覆盖等概念以及C—P结构给出了非紧系统上拓扑熵的定义．受文献[3—4]的启发，本：丈利用文献【4】的方法，将紧系统上的次可加拓扑压推广到非紧系统上，同时给出了拓扑压、下容量拓扑压和上容量拓扑压的定义，并介绍了非紧系统上次可加拓扑压的性质，如：拓扑压的维数性质、拓扑压关于半范数连续的性质以及拓扑压的一些等价刻画等．2预备知识本文恒设(X，d)是局部紧的可分度量空间．定义2．1【]设X是拓扑空间．称．厂：-÷是逆紧映射，如果f是连续的，并且任意紧集在，下的原像是紧的．定义2．2【5】称开集为容许开集，如果的闭

4、包或补集是紧的．定义2．3[5]称X的开覆盖z，为容许覆盖，如果有限并且对任意A∈，A是容许开集．收稿臼期：2015—01～16．基金项目：国家自然科学基金f11301417)．作者简介：杨宇(1991一)，硕士生，研究方向：拓扑动力系统及其遍历理论266纯粹数学与应用数学第3l卷定义2．4【5]称度量d是容许的，如果满足下列条件：(1)如果对任意∈a，b)(0

5、容许覆盖都有Lebesgue数．定义2．5f】称函数列=()n∈N是次可加的，如果对任意仇，n∈N和z∈X有+忆x)x)+(．厂())．定义2．6设(X，d)是局部紧的可分度量空间，，是逆紧映射，则称(x，I厂)是逆紧系统3非紧系统上次可加拓扑压的定义设(x，．厂)为非紧的逆紧系统，对任意n∈N和X的容许覆盖，用wn)表示所有长度为n的向量U：(，⋯，)构成的集合，U1，⋯，∈．对任意U∈)，记向量U的长度为m()．定义x()={X∈X：fk-1()∈，=1，·一，m(【，))．对任意集合ZcX，称FcUW礼

6、)覆盖Z，如果Ux(v)DZ．n∈N【厂∈F设=()n∈N为次可加的连续函数列，对任意佗∈N，定义7n(，)=sup{l(z)一n()l：z，Y∈u)，∈W)!!：0lirasuplimsup．diam--rOn一÷oo礼对任意n∈N，U∈)，记()={I∈sxup(u)‰(z)，x(u)≠，I一。o，x(u)=．任给ZcX，Oz∈，定义Mz(a，，z，，)：l_i÷rnooinrf∑exp(一m()+())，(1)其中下确界取遍所有覆盖z的rcUWn(U)．定义七n_IiminfiIIexp(_一⋯r第3期

7、杨宇等：非紧系统的次可加拓扑压267z('’)=pinf∑exp(一m()+())，(3)UEF其中下确界取遍所有覆盖Z的FC)．易证，在Q从一。。增大到+。。的过程中，f1)式一(3)式在唯一的值处从+o。减小到0．因此，定义尸z(，z，f)=inf{o~∈：Mz(ct，，)=0)z(，J=inf{ol∈：z(，，)=0}，z(，)=inf{a∈：z(，，z，，)=0)．引理3．1[】设是局部紧的可分度量空间，是的单点紧化，如果d是的某一度量限制在上的度量，那么d是容许度量，并且对任意￡>0，存在X的容许覆

8、盖，使得这个覆盖的直径小于￡．引理3．2设(，f)为逆紧系统，对任意次可加的缓变连续函数列，极限()=：=dia(，z，，)，d1aml“J—}。Uz()=dia0z(，)，dlaml“J—}UPz()：Pz(，)(，1l．aⅡl【l—手oU存在．证明设z／，是X的容许覆盖，且z，，的Lebesgue数为，由引理3．1可知，存在X的容许覆盖，使得diam(V)<．任取∈，存在u(vd∈，使得Cu(v