2018_2019学年高中数学第二章几个重要的不等式1.1简单形式的柯西不等式课件北师大版.pptx

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1、第二章§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式学习目标1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　简单形式的柯西不等式思考1(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b

2、2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案　当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理(1)简单形式的柯西不等式①定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥.当向量(a，b)与向量(c，d)时，等号成立.②简单形式的柯西不等式的推论(a＋b)(c＋d)≥____________(a，b，c，d为非负实数)；≥(a，b，c，d∈R)；≥(a，b，c，d∈R).以上不等式，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立.(

3、ac＋bd)2共线

4、ac＋bd

5、

6、ac

7、＋

8、bd

9、(2)柯西不等式的向量形式设α，β是任意两个向量，则

10、α

11、

12、β

13、

14、α·β

15、，当向量α，β时，等号成立.≥共线题型探究类型一　利用柯西不等式证明不等式例1(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：

16、ax＋by

17、≤1；证明∴当且仅当a＝b＝c时，等号成立.证明反思与感悟　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥其中a，b，c，d∈R＋.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对

18、数字的增补：如a＝1×a)，变形等.证明证明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋，例2若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：

19、x＋2y＋z

20、≤3.证明证明　因为x2＋4y2＋z2＝3，所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2整理得(x＋2y＋z)2≤9，即

21、x＋2y＋z

22、≤3.反思与感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.证明　∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，又a>b>c，∴a－

23、c>0，a－b>0，b－c>0.证明类型二　利用柯西不等式求最值例3若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解　由柯西不等式，得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答反思与感悟　利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件.(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧.(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.

24、多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.跟踪训练3已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解答解　由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，∵9a2＋4b2＝18，∴36≥(3a＋2b)2.∴

25、3a＋2b

26、≤6.达标检测12435解析(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，当且仅当3b＝2a时取等号，所以(3a＋2b)2≤4×13.1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为答案解析√12435解析　∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴a2＋b2≥2.2.已知

27、a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则答案解析√12435∴最小值为9.答案解析912435解析　∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，∴m2＋n2≥5.答案解析当且仅当an＝bm时取等号.124355.已知a2＋b2＝1，求证：

28、acosθ＋bsinθ

29、≤1.证明证明　∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)≥(acosθ＋bsinθ)2，∴

30、acosθ＋bsinθ

31、≤1.规律与方法1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式