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1、第十一章方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分
2、析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（AnalysisOfVariance），记作ANOVA。人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。§1单因素方差分析只考虑一个因素A对所关心的指标的影响，A取几个水平，在每个水平上
3、作若干个试验，试验过程中除A外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A对指标有无显著影响，即当A取不同水平时指标有无显著差别。A取某个水平下的指标视为随机变量，判断A取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。1.1数学模型2设A取r个水平A,A,L,A，在水平A下总体x服从正态分布N(μ,σ)，12riii2i=1,L,r，这里μ,σ未知，μ可以互不相同，但假定x有相同的方差。又设在每iii个水平A下作了n次独立试验，即从中抽取容量为n的样本，记作x,j=1,L,
4、n，xiiiijiij2服从N(μ,σ)，i=1,L,r,j=1,L,n且相互独立。将这些数据列成表1（单因素试ii验数据表）的形式。表1单因素试验数据表Axx…x111121n1Axx…x221222n2……………Axx…xrr1r2rnr将第i行称为第i组数据。判断A的r个水平对指标有无显著影响，相当于要作以下的假设检验H:μ=μ=L=μ；H:μ,μ,L,μ不全相等012r112r由于x的取值既受不同水平A的影响，又受A固定下随机因素的影响，所以将它ijii分解为x=μ+ε，i=1,L,r，j=1,L,n（1）ijiiji-
5、213-2其中ε~N(0,σ)，且相互独立。记ijrr1μ=∑niμi，n=∑ni，αi=μi−μ，i=1,L,r（2）ni=1i=1μ是总均值，α是水平A对指标的效应。由（1）、（2）模型可表为ii⎧x=μ+α+εijiij⎪r⎪⎨∑αi=0（3）⎪i=1⎪ε~N(0,σ2),i=1,L,r,j=1,L,n⎩iji原假设为（以后略去备选假设）H:α=α=L=α=0（4）012r1.2统计分析记1ni1rnixi•=∑xij，x=∑∑xij（5）nij=1ni==11jx是第i组数据的组平均值，x是总平均值。考察全体数据对x的偏
6、差平方和i•rni2ST=∑∑(xij−x)（6）i==11j经分解可得rrni22ST=∑ni(xi•−x)+∑∑(xij−xi•)i=1i==11j记r2SA=∑ni(xi•−x)（7）i=1rni2SE=∑∑(xij−xi•)（8）i==11j则S=S+S（9）TAES是各组均值对总方差的偏差平方和，称为组间平方和；S是各组内的数据对均值偏AE差平方和的总和。S反映A不同水平间的差异，S则表示在同一水平下随机误差的AE大小。ni22注意到∑(xij−xi•)是总体N(μi,σ)的样本方差的ni−1倍，于是有j=1ni222
7、∑(xij−xi•)σ~χ(ni−1)j=12由χ分布的可加性知-214-r22⎛⎞SEσ~χ⎜∑(ni−1)⎟⎝i=1⎠即22Sσ~χ(n−r)E且有2ES=(n−r)σ（10）E对S作进一步分析可得Ar22ESA=(r−1)σ+∑niαi（11）i=1当H成立时02ES=(r−1)σ（12）A可知若H成立，S只反映随机波动，而若H不成立，那它就还反映了A的不同水平0A0的效应α。单从数值上看，当H成立时，由（10）、（12）对于一次试验应有i0S/(r−1)A≈1S/(n−r)E而当H不成立时这个比值将远大于1。当H成立时，
8、该比值服从自由度n=r−1，001n=(n−r)的F分布，即2S/(r−1)AF=~F(r−1,n−r)（13）S/(n−r)E为检验H，给定显著性水平α，记F分布的1−α分位数为F(r−1,(n−r))，检验01−α规则为F
