算法大全第14章 稳定状态模型.pdf

《算法大全第14章 稳定状态模型.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十四章稳定状态模型虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。§1微分方程稳定性理论简介定义1称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组）⎡

2、f1(x,t)⎤dx⎢⎥=F(x,t)=M（1）dt⎢⎥⎢f(t)⎥⎣N⎦中的F(x,t)=F(x)，即在F中不含时间变量t。事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定义⎡x⎤⎡F(x,t)⎤y=⎢⎥，G(y)=⎢⎥⎣t⎦⎣1⎦且引入另一个变量s，则方程（1）与下述方程dy=G(y)ds是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称为动力系统。定义2系统dx=F(x)（2）dtn的相空间是以(x,L,x)为坐标的空间R，特别，当n=2时，称相空间为相平面。1nn空间R中的点集{(x,L,x)

3、x=x(t)满足(2),i=1,L,n}

4、1nii称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。定义3相空间中满足F(x)=0的点x称为系统（2）的奇点（或平衡点）。00奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统⎧dx(t)=ax+by⎪⎪dt⎨（3）dy(t)⎪=cx+dy⎪⎩dt当ad−bc=0时，有一个连续的奇点的集合。当ad−bc≠0时，(0,0)是这个系统的唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：-167-定理1设F(x)是实解析函数，且x系统（2）的奇点。若F(x)在点x处的00Jacobian矩阵⎡∂f⎤iJ(x0)=⎢⎥⎢⎣∂xj⎥⎦是非奇异的，则x是该系统的孤立奇点。

5、0定义4设x是（2）的奇点，称0（i）x是稳定的，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得如果0

6、x(0)−x

7、<δ，则

8、x(t)−x

9、<ε对所有的t都成立。00（ii）x是渐近稳定的，如果它是稳定的，且lim

10、x(t)−x

11、=0。00t→∞这样，如果当系统的初始状态靠近于奇点，其轨线对所有的时间t仍然接近它，于是说x是稳定的。另一方面，如果当t→∞时这些轨线趋于x，则x是渐近稳定的。000定义5一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。定理2设x=x(t)是系统（3）的通解。则（i）如果系统（3）的系数矩阵A的一切特征根的实部都是负的，则系统

12、（3）的零解是渐近稳定的。（ii）如果A的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳定的。（iii）如果A的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。定理2告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是A的一切特征根的实部都是负的。对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个近似系统的解来给出这个奇点的稳定解。定义6设x是系统（2）的一个孤立奇点。称系统在x点几乎是线性的，如果F00在x的Jacobi

13、an矩阵是非奇异的，即detJ(x)≠0。00设F(x)在x=0的某邻域内连续，并有直到二阶连续偏导数，则由多元函数的2Taylor公式，可将F(x)展开成F(x)=Ax+O(

14、x

15、)，其中⎡∂f1∂f1⎤L⎢⎥∂x∂x⎢1n⎥A=MMM⎢⎥∂f∂f⎢nLn⎥⎢∂x∂x⎥⎣1n⎦是一个常数矩阵，这样得到的线性系统dx=Ax（4）dt称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的-168-原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定条件下，才可用它的线性近似

16、系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：定理3如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。⎡ab⎤系统（3）在其系数矩阵A=⎢⎥的行列式detA≠0的条件下，可知(0,0)是⎣cd⎦系统（3）的唯一的平衡点，它的稳定性由特征方程：det(A−λI)=0