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1、第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。§1差分方程1.1差分方程简介规定t只取非负整数。记y为变量y在t点的取值，则称Δy=y−y为y的一ttt+1tt2阶向前差分，简称差分，称Δy=Δ(Δy)=Δy−Δy=y−2y+y为y的二ttt+1tt+2t+1ttn阶差分。类似地，可以定义y的n阶差分Δy。tt由t、y及y的差分给出的方程称为y的差分方程，其中含y的最高阶差分的阶tttt数称为该差分方程的阶。差分
2、方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程2Δy+Δy+y=0也可改写成y−y+y=0。tttt+2t+1t满足一差分方程的序列y称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有t的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程ay+ay+L+ay=b(t)（1）0n+t1n+t−1nt为n阶常系数线性差分方程，其中a,a,L,a是常数，a≠0。其对应的齐次方程为01n0ay+ay+L+ay=0（2）0n+t1
3、n+t−1nt(1)(2)(1)(2)容易证明，若序列y与y均为（2）的解，则y=cy+cy也是方程（2）的ttt1t2t(1)(2)解，其中c,c为任意常数。若y是方程（2）的解，y是方程（1）的解，则12tt(1)(2)y=y+y也是方程（1）的解。ttt方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I）先求解对应的特征方程nn−1aλ+aλ+L+a=0（3）010（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有n个互不相同的实根λ,L,λ，则齐次方程（2）的通解1n为ttcλ+
4、L+cλ（c,L,c为任意常数）11nn1nk−1t（ii）若λ是特征方程（3）的k重根，通解中对应于λ的项为(c+L+ct)λ，1kc(i=1,L,k)为任意常数。i（iii）若特征方程（3）有单重复根λ=α±βi，通解中对应它们的项为tt22βcρcosϕt+cρsinϕt，其中ρ=α+β为λ的模，ϕ=arctg为λ的幅角。12α（iv）若λ=α±βi是特征方程（3）的k重复根，则通解对应于它们的项为k−1tk−1t(c+L+ct)ρcosϕt+(c+L+ct)ρsinϕt1kk+12k-192-c(i
5、=1,L,2k)为任意常数。i（III）求非齐次方程（1）的一个特解y。若y为方程（2）的通解，则非齐次方tt程（1）的通解为y+y。tt求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)t也可使用待定系数法。例如，当b(t)=bp(t)，p(t)为t的k次多项式时可以证明：kkt若b不是特征根，则非齐次方程（1）有形如bq(t)的特解，q(t)也是t的k次多项kktr式；若b是r重特征根，则方程（1）有形如btq(t)的特解。进而可利用待定系数法k求出q(t)，从而得到方程（1）
6、的一个特解y。kt例1求解两阶差分方程y+y=t。t+2t2解对应齐次方程的特征方程为λ+1=0，其特征根为λ=±i，对应齐次方程1,2的通解为ππy=ccost+csintt122211原方程有形如at+b的特解。代入原方程求得a=，b=−，故原方程的通解22为ππ11ccost+csint+t−122222例2在信道上传输仅用三个字母a,b,c且长度为n的词，规定有两个a连续出现的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。解令h(n)表示容许传输且长度为n的词的个数，n=1,2,L，通过简单计算可求
7、得：h(1)=3，h(2)=8。当n≥3时，若词的第一个字母是b或c,则词可按h(n−1)种方式完成；若词的第一个字母是a，则第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按h(n−2)种方式完成。于是，得差分方程h(n)=2h(n−1)+2h(n−2)，(n=3,4,L)其特征方程为2λ−2λ−2=0特征根λ=1+3，λ=1−312则通解为nnh(n)=c(1+3)+c(1−3)，(n=3,4,L)12利用条件h(1)=3，h(2)=8，求得2+3n−2+3nh(n)=(1+3)+(1−3)，(n=1,2,L)23
8、23在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数c,L,c如何取值，在t→+∞1n时总有y→0，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方t-193-程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。1.2常系数线性差分方程的Z变换解法常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采用这种解法
