学而思竞赛班微积分第2讲导数的应用.pdf

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1、第二讲导数的应用上讲回忆如果你学完上一讲有隔岸观火、雾里看花的感觉，甚至有神魂颠倒、飘飘欲仙的感觉，请不要害怕，不要彷徨，因为包括牛顿在内的大师们当年的感觉，和你们是一样一样的。也不要害怕掌握不熟，对以后学习有什么影响，我们帮你把今后要用的东西给你准备好了：(()())'fxgxfxgx'()'()；(()())'fxgxfxgx'()()fxgx()'()；f()xfxgx'()()fxgx()'()()'；f(())'gxfggx'()'()；2gx()gx()nn11xx()'xnx；(sin)'xcosx；(cos)'xsinx；(ln

2、)'x；()'eex本讲目标在本讲讲详细介绍导数的各种应用。在练习中体会深化巩固求导的概念和运算。洛比达法则：这是计算极限的一种常用方法，也可以用来比较小量的阶数.函数求极值：掌握极值和最值的区别，体会能量取极值的意义。多元函数极值和条件极值：这是导数与实际生活联系最紧密的领域。不仅物理问题，许多经济学问题，生活问题都可以用这些方法解决。小量展开：这是导数在物理竞赛中应用得最多的部分。小量展开体现的一种逐阶展开、通过抓住主要矛盾来抽象物理本质的思想。在使用小量展开中注意体会小量阶数的比较与取舍的关系。讲义的风格与上将类似，一个类目的纯数学例题尽量只有一个，但复杂的提供

3、自学例题课后复习提高。知识模块第一部分洛比达法则知识点睛2xx有时候会遇到0/0型的极限式，即分子分母的极限分别为0，例如lim。当x0的时32x0x2x32候，xxx，可见x的高阶量相对于低阶量可以忽略。对于多项式求导可以降低阶数，当阶数降到0的时候，极限不再是0，可以直接计算了。按照这条思路前人发明了洛比达法则：ux()ux'()limlim；如果lim()ux0且lim()vx0xavx()xavx'()xaxa我们不打算证明这个定理，只做如下说明：ux()0axa如果uua(0)0,'(0)；vvb(0)0,'(0)，则

4、。vx()0bxb高一·物理·竞赛班·第2讲·教师版讲述高端的真正的物理学1当然，如果分子分母的一阶导数是0，可以继续使用洛比达法则，直到不再是0/0型为止。例题精讲【例1】利用洛比达法则计算下列极限：x11x1cosxex1tanxsinxlim;lim；lim；lim；223x0xx0xx0xx0x111x21x1[解析]limlimxx00x121cosxxsin1limlim2xx00xx22xxxexe11e1limlimlim2xx00xx22x021sinx2cosxx2sin1tan

5、xxsincos23xxcossinxcos3x1limlimlimlimlim32xx00xx36x0xx0xx062第二部分函数的单调性和极值知识点睛如果函数在某点切线斜率为正，导数大于0，则显然在这个点附近函数是增函数，反之如果函数在某点切线斜率为负，导数小于0，则在这个点附近函数是减函数。利用求导数的办法可以判定函数的增减性。在画复杂函数图像的时候可以先画一个特殊点，然后判定函数的增减性，从而画出函数的大致形状。如果一个连续的可导函数在开区间(,)ab上有最大y值，则在函数取最大值x那一点，一定型如下图，最大0值在一个“山包的顶上”。这一点的

6、切线显然是0，换句话说这一点的一阶导数为0。如若不然，设fx'()0，0xx0则f()xxf(x)；设fx'()0，则0000f()xxf(x)，均与函数在x那一点取最大值矛000y盾。同理，如果一个连续的可导函数在开区间(,)ab上有最小值，则函数取最大值x那一点一阶导数为0。注意，0如果给定的是闭区间，则还有另一种可能性：函数的最xxx大最小值在边界取到。这时候并不能得出结论：最大最01小值点的一阶导数为0。0反过来，如果函数一阶导数为0，并不意味着函数取高一·物理·竞赛班·第2讲·教师版讲述高端的真正的物理学2最大最小值。如图所示。虽然在x点导数为0

7、，让函数站在一个山头上，但是一山更比一山高，x的01函数值更大。山头的点虽然不是最大值，但是也确实不用于其他点。我们把一阶导数为0的点叫做函数的极值点。当两阶导数大于0的时候叫做极小值，两阶导数小于0的时候叫极大值，两阶导数等于0的时候可能是极大值，可能是极小值，也可能什么都不是。总结一下：求函数极值点只需要令其一阶导数等于0；闭区间求有界函数最大值，需要先找出所有极值点，然后找出边界点，比较这些点函数值，最大的是最大值；开区间求有界函数最大值，需要先找出所有极值点函数值，然后找出边界上的函数的极限值，比较这些值，如果边界极限