含参变量的变限积分的求导方法.pdf

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1、2010年第4期安徽电子信息职业技术学院学报No·42010第9卷(第49期)JOURNALOFANH—UIVOCATIONALCOLLECEOFELECTRONICS&INFORM—ATIONTECHNOLOGYGeneralNo．49Vo1．9【文章编号]1671—802X(2010)04—0053—02含参变量的变限积分的求导方法朱彩兰(江海职业技术学院基础部数学教研室，江苏扬少1,1225101)【摘要]本文给出了含参变量的变限积分求导公式，并介绍了利用该公式及变量替换求解含参变量变限积分的求导方法。[关键词]参变量；变限积分；导数；变量替换【中图分类号]G642【文

2、献标识码]B一我们知道变上限积分的求导公式为Fx)=[f：f(t)dt]方法(二)多元函数微分学=f(x)(1)设F(，t)是一个连续可微的二元函数，且=f而当F(x)的自变量也出现在被积函数f中时，就不能利用上述公式了，此时F

3、+J：“f(x+△x，t)dt]所以=—fXf(x+A_x,t)dt-f(x,t)dt—一+：兰±垒!!Axfx+Axt-fxtdtlimlim[：(,)(,)——Fx)=△Ax=Ax—．—————————．————————————————————xAxliraf：¨f(x+Ax，t)dt+Ax—lirarAx—其中：些兰逃：f(+△、A，∈)xAx’而妊(x，X+Ax)所以)△limdl+lim△f(x+△x，∈)％[收稿日期】2010—06—03[作者简介]朱彩兰(1979一)，女，江西学院数学教研室副主任，硕士学目目回圈朱彩兰——含参变量的变限积分的求导方法第4期例3、

4、已知函数f(x)连续，，求F(x)=』if(X一t)dt，求sin(x-1)dl=0+Ioc。s(x-t)dt=-sin(x-I)I=FX)解：令x一t=U，t=X一aTdt=一du，由公式(2)再根据复合函数求导公式易得下列几个推因t：O_+x，所以x论：F

5、t=(x)7f(u)du+x[』；f(u)du]一[f02a(u)du]③Fx)=[2㈤(x)-~-＼zx，t)dt]=2x』oZf(u)du+xf(x)·2x—X2f(x)·2x==f(~P2-1(x)，x)。‘P；(x)+‘P；(x)IYI_(‘Pz一2x』(U)du倘若这两个例题直接运用公式(2)及其推论的话，虽然(X)，t)dt也是能够做出来的(读者不妨试试看)，但是却要复杂得多，—f(cp(x)，x)。‘P(x)一‘P(x)』“’I_(‘P-一因此，在求含参变量的变限积分求导时，我们首先想到的还是变量替换的方法。但变量替换灵活性较强，没有固定不变的公式，它的基本思想

6、就是通过替换将参量移到积分符号的的读者自己证外边去，再运用公式(1)。这样含参变量的变限积分F(x)=』：f(X，t)dt的导数就求解出来了。分符号的前面(X)=』：f(X，t)[参考文献][1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．(上册)高等有t，从而问题教育出版社，1998，1．[2]杨松华，王爵禄．高等数学一题多解[M]．郑州大学出版社，2002，10．0_x，所以x_[4]龚冬保．数学考研典型题(2009版)[M]．西安交通大学出版社．[5]黄先开，曹显兵．2010年考研数学最新精选600题(理工类)[M]．中国人民大学出版社．