材料力学(单辉祖)第十一章压杆稳定问题.pdf

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1、第十一章压杆稳定问题主讲人：张能辉1压杆稳定性概念2压杆稳定性概念¢工程实例2010年智利地震中剪力墙破坏3压杆稳定性概念¢工程实例四川省庐山体育馆连杆屈曲2013年大陆首次出现空间钢网架震害现象4压杆稳定性概念¢实验现象(1)粗短压杆塑性材料(Steel)脆性材料(Iron)压力增加压力增加强度问题5压杆稳定性概念(2)扭转轴强度满足情况下，变形不能过大刚度问题变形特点：连续性6压杆稳定性概念P(3)细长压杆PPPcrP7压杆稳定性概念其它结构壳受轴压作用稳定性问题变形

2、特点：突发性8压杆稳定性概念细长压杆弯曲原因--缺陷¾在杆件轴向压缩变形过程中，往往伴随着横向弯曲变形几何缺陷实际压杆的轴线存在着初始曲率载荷缺陷作用在杆件上的外力作用线一般也不与杆件的轴线恰好重合材料缺陷杆件的材料不可能达到理想的均匀性9压杆稳定性概念P¾如果杆件抗弯刚度较大，且轴向压力在一定范围内，杆件的变形可分别由杆件压缩和弯曲变形叠加而得到——组合变形P¾如果轴向压力逐渐增大，轴向w压力对杆件弯曲变形影响不可忽略，且当轴向压力达到某一特定值时，杆件变形极度增大，而导致受压杆件丧失承载能力PPcr10压杆

3、稳定性概念¢受压杆件理想力学模型李雅普诺夫观点受轴向压力P作用一理想直杆，则其直线形态是一个平衡态PP假想有微小横向力Q同时作用Q于直杆上，则在力P和Q作用下，直杆发生压缩和弯曲组合变形PP11压杆稳定性概念如果撤去横向力Q后，弯曲变形消失，直杆恢复到其原来的直线平衡状态，则称直杆的直线平衡态是稳定的平衡态。撤去横向力Q后，弯曲变形不能消失，杆的轴线不能保持为一条曲线，则称直杆的直线平衡态是不稳定的平衡态。则杆的直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受的轴向压力称为临界压力，简称为临界力。12压杆稳定性概念P

4、P小撤去横向力Q稳Q定当P较小时稳定的P的P临界压力PcrPP不P稳定的Q撤去横向力Q不稳定的当P较大时P大临界压力:保持直线状态的最大压力维持曲线状态的最小压力13细长中心受压直杆临界力的欧拉公式14欧拉公式¢压杆线弹性稳定性问题设细长中心受压直杆在临界力作用下处于不稳定平衡直线形态，如果此时材料仍处于理想线弹性范围内(即胡克定理成立)，则称细长中心受压直杆的稳定性问题为线弹性稳定性问题¢线弹性稳定性问题是结构稳定性问题分析中最简单的一类，其中又以细长中心受压直杆的稳定性问题为最基本的15欧拉公式变形前后问题

5、考虑两端铰支，长l等截面细长中Pcr心受压直杆，设直杆在临界压力Pcr作用下发生失稳，产生微小弯曲。xAvPcr设杆件失稳后轴线的挠度为v(x)，M(x)则任一横截面上的弯矩为lmxM()xP=vx()cr压力P取为正值，位移v(x)以沿yBycr轴正向为正。16欧拉公式P将弯曲M(x)代入梁弯曲cr挠曲线微分方程x2AvdvAEI2=−M(x)=−Pcrv(x)PcrdxM(x)令k2=PcrlmEIx则梁挠曲线微分方程变为2ydv2B+kv(x)=02dx这是一个二阶线性齐次常微分方程17欧拉公式Pcr方程

6、2dv2x+kv(x)=02vdxAPcr通解M(x)v(x)=Asinkx+BcoskxlmA、B和k为待定常数x边界条件v(x)=0,x=0By得B=018欧拉公式边界条件v(x)=0,x=lPcr得Asinkl=0xAvP由此可得A=0,或sinkl=0crM(x)若A=0则v(x)=0lmx意味着直杆保持直线平衡状态，不存在非直线By平衡态，即直杆未发生失稳，显然无意义19欧拉公式2Pcrk=EI若sinkl=0Pcr得kl=nπ(n=1,2,3,L)xAv由此求得Pcr22nπEIM(x)P=(n=1

7、,2,3,L)crn2lmlP中最小值称为直杆临界压力，xcrn记为P。即crBy2πEIPPcr==min{crn1}Pcr=21≤≤∞nl20欧拉公式Pcr此时直杆挠曲线为πv(x)=AsinxlA若杆中点处挠度为δ，利用条件lδlv()=δ2得πBv(x)=δsinxl21欧拉公式结论对两端铰支的等截面细长中心受压直杆的临界压力为2πEIP=cr2l此式称为欧拉公式22欧拉公式P¢稳定性问题在数学上归结为什么问题？crdv2vx()0=,x=lA2+=kvx()02dxvx()0,=x=0lδ¢数学上两个

8、解，为何力学上只取一个？B¢欧拉观点不同于近代李雅普诺夫观点23欧拉公式¢随遇平衡问题Pcr临界压力P下，直杆失稳挠曲线crAπv(x)=δsinxllδδ是一个未知量.只要δ是小量，上式均成立。表明在线性弹性稳定性理论范畴，B受压直杆在临界压力处是一个随遇平衡状态。24欧拉公式Pcr实际这种随遇平衡状态时不存在的。不合理原因是由于前面分析中采用A了近似的线性弹性稳定性理论非线性弹性稳