数列中的常见问题的探讨

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1、28数学篇《数理化解题研究)2olo年第JD期出函数的值域．A(一1，一1)和B(2，3)的距离之和．连结AB，交轴求某些分段函数的值域常用此方法．于点，则当动点移动到点时距离之和最小，最小例8(1)求函数Y=J一3I—J+1I的值域．值为AB=5，无最大值．所以值域是[5．+∞)．2，’r4，≤一l，注：例如“已知争+Y=1，求L的最大值和解原式={【一2x+2，一1<<3，图象叶十．)一4．≥3．最小值”的问题，也可以用数形结合的方法，把要求是折成三段的线(图略)．由图可知值域是[一4，4]．的量看成是斜率，于是就变成了求切线斜率问题．当然，求函数值域问题还有很

2、多解法，如配方法、(2)Y=~／+2x+2+一4x+13．分离常数法、最值法、反函数法(新课标不做要求)等解原式=、／／(+1)+(0+1)+等，笔者就不再赘述了．√(一2)+(0—3)，表示动点(，0)到定点江苏省盐城市景山中学(224000)徐佩和●数列一直是高考的热点，历来受到高中数学界++南·+，=T的高度重视．但有部分同学感到数列比较难学，在考1ll1试中，经常由于方法不当，运算不过关，从而失去了不+一芝一>u’少分．其实，只要能掌握好数列中的常见问题，能举一反三在考试中就能取得良好的效果．数列中常要研究所以S州>S≥S，所以S的最小值为s=÷．的问题有以

3、下几种．评注由于数列是一种特殊的函数，所以具有一、求值问题函数的一般性质。本题运用了函数的单调性，很好地例1设{a}为等差数列，S为数列{a}的前凡解决了问题，并注意了整体思想在解题中的使用．项和，已知S=7，S=75，为数列{}的前项三、存在性问题和，求．例3已知数列{C}的通项公式为c=2+3，解设等差数列{a}的公差为d，因为S=7，且数列{c+一pc}为等比数列，求P的值．．s5：75,a+2d：7，解得=一2，所解法l因为{c一pc}为等比数列，所以L15a】+105d：75．td：1．(c+l—pc)=(c+2一pc+1)(c一pc一1)．将C=2+3代

4、人并整理得：以鲁=。+=一手+／／,，所以{t／,}为公差等于1首项为一2的等差数列．所以：1n2寺(p一2)(P一3)=0，一，詈n．解得P=2或P=3．二、最值问题解法2因为{C一pc}为等比数列，所以C一已=+++．．·十1，pc1，C3一pc2，C4一pc3构成等比数列．则有：求S的最小值．(C3一pc2)=(c2一pc1)(c4一pc3)，整理得(p一2)(P一3)=0，解。=(+++-．·+解得P=2或P：3．《数理化解题研究))2olo年第jO期数学篇29当P=2时c一pc=3；当P=3时，C川一pc所以k<(1十)rain，所以k≤一÷．=2“．所以

5、当P=2或P=3时，{c一pc}为等比数q·‘列．评注．由于数列是一种特殊的函数，所以，利用评注对于数列中的存在性问题，可先根据凡函数或不等式中的方法来研究和解决数列问题是常的特殊值确定变量的值，然后再进行验证．也可以不用的方法．失一般性，直接求解．五、应用性问题四、与函数或不等式结合的问题例5顾客购买一件售价为5000元的商品时，如例4已知，在等比数列{0}中，其首项0>0，果采用分期付款(每次付款数相同)，在一年内将款公比q>一1，且q≠1，前n项的和为S；在数列{bl全部付清的前提下，购买后2个月第一次付款，再过2中，b=a川一ka，前n项的和为．求证：(1)

6、S>个月第2次付款，依此类推，购买12个月后第6次付款，现规定月利率为0．8％，每月利息按复利计算，问0；(2)Tn>kS，对一切正整数n成立，则k≤一1．顾客每次付款多少?一共付款多少?解法l设每次付款为元，应有下列式子成立：证明(1)因为g≠l，所以s=．一q[1+(1+0．8％)+(1+0．8％)+⋯+(1+1，当一10，1一q>0，又0．8％)加]：5000(1+0．8％)．口1>0，所以S>0；解得=880，所以共付款880X6=5280元．2。，当q>1时，1一q<0，1一q<0，则S>0，解法2设每次付款数为元，则第一次付款后所以由

7、上可得，当q>一1，且q≠1时，S>0．尚欠款数为：5000(1+0．8％)一；(2)b=a川一ka=a．q(1一kq)，则=第二次付款后尚欠款数为：[5000(1+0．8％)一S．q(1一g)，代人>kS得：Sq(1一幻)>kS．](1+0．8％)一=5000(1+0．8％)一[1+(1因为S>0，所以q(1一kq)>k，可化为k<+0．8％)]；、望依次类推，第六次付款后尚欠款为：5000(1+1+q0．8％)一[1+(1+0．8％)+(1+0．8％)+⋯因为q>一1，且q≠1，+(1+0．8％)如]=0．所以q+_1>2或q+1一<一2，求得=880元，所