高等数学上知识点汇总.pdf

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1、高等数学上目录：第一章P1-P3第二章P3-P6第三章P6-P15第四章P15-P20第五章P20-P24第六章P25-P27课题组成员：高国恒、雷锦、徐礼锋、秦明鑫、李轲、王冠宇、应蕾、曾通0/27第一章函数（基本概念）1、集合：具有某种共同属性的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。2、集合的表示方法：列举法、描述法（常用）。3、集合的运算：并集A∪B={x∣xA或xB}、交集A∩B={x∣xA且xB}、差集A-B={x∣xA且xB}。4、常见数集：N-自然数集、Z-整数集、Q-有理数

2、集、R-实数集、C-复数集。A∪B5、邻域：δ>0，∣x-a∣<δ,表示点a的去心δ邻域。B一、函数的概念AA-BA∩B1、映射：X、Y是非空集合，若存在法则f，使对于X中的每一个元素x，在Y中有唯一的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，即y=f(x)。映射三要素：定义域、值域、对应法则。2、几类重要映射：满射，单射，一一映射。3、函数的概念：若映射中的对应法则为数数对应，则f为从X到R的函数(yR)。涉及题目：判断函数是否为同一函数。4、函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。5、几个特殊的分段

3、函数：符号函数y=sgnx、取整函数y=[x]、最值函数y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。6、函数的几点特性：①有界性，②单调性，③奇偶性：奇函数f(x)=−f(-x)偶函数f(x)=f(-x)，④周期性。二、初等函数111、反函数：若函数f:X→f(x)为单射，则存在新映射f：f(x)X,使任意yf(x)，f（y）=x，其→1中f(x)=y，称此映射f为f的反函数。2、反函数的性质：①y=f(x)的单调性与其反函数的单调性一致。②y=f(x)与其反函数的图形关于直线y

4、=x对称。ux3、五类基本初等函数：幂函数y=x(u0),指数函数y=a（a>0,a≠0）,对数函数ylogx（a>0,a≠1）,a三角函数，反三角函数。1/274、常见的三角函数公式:平方公式22sinxcosx1221tanxsecx221cotxcscx降幂公式21cos2xcosx221cos2xsinx22/275、复合函数：设①yf(u),uX;②ug(x),xX,则yf[g(x)],xX称为由fgg①②确定的复合函数。6、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四

5、则运算及有限次复合所得的函数。（一般来说：分段函数、隐函数是非初等函数，不能从参数方程中消去t解出y的参数方程也是非初等函数。）xxxxeeee7、双曲函数与反双曲函数：双曲正弦shx,双曲余弦chx，双曲正切22xxxxeeeethx，双曲余切cthx。相关等式见书(p23).。xxxxeeee第二章、导数与极限一、导数的定义f(x)f(x)y01、导数的定义：设函数yf(x)在点x的某邻域内有定义，若limlim存在，0xx0xxxx0x0则称函数yf(x)

6、在点x处可导，称此极限为yf(x)在点x处的导数。（导数是差商的极限，反00映函数的变化率）二、数列的极限1、有界数列与无界数列：若存在常数M>0，对任意的正整数n都有∣x∣≤M，则称数列{xn}为有界数列，否则为无界数列。2、数列的单调性：若对任意正整数n都有XN≤XN+1则称数列{Xn}为单调增加数列，若对任意正整数n都有XN≥XN+1则称数列{Xn}为单调减少数列。3、数列极限的定义：若对任意给定的正数ε，存在正整数N，使当n>N时，必有∣an-L∣<ε,则称L是数列{an}的极限。也称数列收敛，否则称

7、数列发散。4、收敛数列的性质：极限唯一性，有界性，保号性（L>0,无穷远处的an也大于0）。5、子数列的三个等价命题：①数列{an}收敛于L。②数列{an}的任一子列{ank}都收敛于L。③子列{a2n}和{a2n-1}都收敛于L。三、函数的极限1、函数极限的定义：设函数f(x)在x的某个去心邻域内有点远，A是一个常数，若03/270,0,当0xx0时，有f(x)A，则称当xx0时，f(x)以A为极限，记作limf(x)A。xx02、单侧极限：左极限：f(x-0)limf(x)

8、A，右极限：f(x0)limf(x)A。xx0xx03、左右极限与极限的关系limf(x)limf(x)=limf(x)=A（题目类型：证明极限是否存在）xx0xxxx004、函数极限的性质：唯一性（如果极限limf(x)存在，那么极限值是唯一的），局部有界性（若极限xx0limf(x)存在，那么f(x)在x的某个去心邻域内有界），局部保序性（如果，，且A