文科高等数学重要知识点汇总.pdf

《文科高等数学重要知识点汇总.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章函数与极限一、内容提要1．函数是微积分研究的对象，定义域、对应法则构成其两要素。2．极限分成数列极限与函数极限，是微积分学的基础，以后的内容绝大多数与此紧密相关。3．无穷小与无穷大是两个特殊的变量，为了更精细的研究它们之间的关系，必须讨论它们之间比较时产生的阶的关系。4．求极限的方法有多种，本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法，并利用后者得到两个重要极限。5．利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用，并得到了初等函数的连续性。作为连续函数，当其在闭区间上时具有特殊的性质。二、重

2、要结论1．limaa=的定义为：∀>∃>∀>ε0,Nn0,Na,满足−∃>∀∈ε0,δδ0,xUx(),,满足fxA()−<ε。0xx→0limf()x=A的定义为：∀>∃>∀∈ε0,δδ0,xxx(,+)(,满足fxA)−<ε。+00xx→0limf()x=A的定义为：∀>∃>∀∈−ε0,δδ0,xxx(,)(,满足fxA)−<ε。−00xx→0limf(x)=A的定义为：∀>∃>∀ε0,Xxx0,满足>X时成立,f()x−

3、定义为：∀>∃>∀ε0,XxX0,满足x>时成立,f()x−∃>∀ε0,Xxx0,满足<−X时成立,f()x−

4、相除时分母须不为0，fx()A有lim(f()xgxAB+=())+，limf(xgxAB)()=，lim=。gx()Bα′αα′9．若自变量的同一变化过程中，α~,~αββ′′，且lim存在，则lim=lim。β′ββ′sinx110．夹逼准则，且由此得lim=limsinx=1；单调有界数列必收敛，且由此得：xx→→0x∞xx11⎛⎞lim1⎜⎟+=+=lim1()xxe。xx→∞⎝⎠x→011．连续的定义为：lim(fx()+Δ−xfx())=0，其等价定义为limf()xfx=()，000Δ→x0xx→0在

5、端点处以单侧极限的方式给出；不满足上式的点称为间断点，分为两类，第一类间断点是左右极限都存在的间断，其余是第二类的。12．闭区间上的连续函数有最大、最小值，是有界的，且能取得介于最大、最小值之间的任意值，当两端点函数值异号时，区间内部必有零点存在。第二章导数与微分一、内容提要01.导数即变量的变化率问题，在计算上体现为一种型的未定式的极限，即增量之比的极0限.2.导数的几何意义即导数在几何上的解释：曲线相应点的切线斜率.3.单侧导数概念的引入缘于在该点两侧函数的对应规则不同，如分段函数的连接点处；或一侧函数根本无定

6、义，如[a,b]的端点处.4.导数的计算主要是利用基本求导公式和求导法则按部就班地进行，其中复合函数的求导法则是计算中的重要工具，而特殊点的导数则必须从定义出发，如分段函数连接点处等.5.不同方式定义的函数的求导法各不相同，如隐函数和参数方程定义的函数.6.微分的概念则从另一个角度讨论了函数的增量问题，从而使我们更加深对导数的理解.dy作为Δy的线性主部，其实质为当Δx→0时dy是Δy的等价无穷小.二、重要结论f(x+Δx)−f(x)f(x+h)−f(x)00001.f′(x)=lim=lim；0Δx→0Δxh→0

7、hf(x)−f(x)0或f′(x)=lim0x→x0x−x0上述极限的左、右极限分别叫作f(x)在x处的左、右导数，记为f′(x)、f′(x).0−+2.函数f(x)在点x处导数f′(x)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的0000斜率.3.f(x)在点x可导的充要条件是f(x)在点x处的左、右导数存在且相等.004.f(x)在点x可导则必在x处连续.005.若f(x)在点x处的函数增量Δy=kΔx+o(Δx)，其中为与kΔx无关的量，则称f(x)在0点x处可微，且微分dy=kΔx.06.f(x

8、)在点x可导的充要条件是f(x)在点x可微，且有dy=f′(x)dx.007.四则运算的求导法则：（1）(u±v)′=u′±v′（2）(uv)′=u′v+vu′uuv′−vu′（3）()′=.2vv8.复合函数的求导法则：设y=f(u),u=ϕ(x)可导，则y=f(ϕ(x))可导，且有y′=f′(u)ϕ′(x).9.反函数的导数：设单调连续函数x=ϕ(y)在