高等数学(同济第七版)(上册)-知识点.pdf

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1、...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设limf(x)0,limg(x)0且limlg(x)(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=0[g(x)],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arccosx~x,x1−cosx~x^2

2、/2,e−1~x,ln(1x)~x,(1x)1~x二.求极限的方法1.两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A,则limf(x)A2.两个重要公式sinx公式1lim1x0x1/x公式2lim(1x)ex03.用无穷小重要性质和等价无穷小代换4.用泰勒公式当x0时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次23nxxxxne1x...o(x)2!3!n!352n1xxnx2n1sinxx

3、...(1)o(x)3!5!(2n1)!WORD格式可编辑版...242nxxnx2ncosx1...(1)o(x)2!4!2n!23nxxn1xnln(1x)x...(1)o(x)23n(1)2(1)...((n1))nn(1x)1xx...xo(x)2!n!352n1xxn1x2n1arctanxx...(1)o(x)352n15.洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件:(1)limf(x)0,

4、limF(x)0;xx0xx0(2)f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导,且F(x)0;0f(x)f(x)f(x)(3)lim存在(或为无穷大),则limlimxx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)f(x)f(x)f(x)这个定理说明:当lim存在时,lim也存在且等于lim;当xx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)f(x)f(x)lim为无穷大时,lim也是无穷大.xx0F(x)xx0F(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的

5、极限值的方法称为洛必达(LHospital)法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件:(1)limf(x),limF(x);xx0xx0(2)f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导,且F(x)0;0f(x)f(x)f(x)(3)lim存在(或为无穷大),则limlimxx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)注:上述关于xx时未定式型的洛必达法则,对于x时未定式型0同样适用.使用洛必达法则时必须注意以下几点:0(1)洛必达法则只能适用于“”

6、和“”型的未定式,其它的未定式须00先化简变形成“”或“”型才能运用该法则;0(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;(3)洛必达法则的条件是充分的,但不必要.因此,在该法则失效时并不能断定原极限不存在.6.利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(x0x)f(x0)'基本公式limf(x)(如果存在)0x0x7.利用定积分定义求极限n11k基本格式limf()f(x)dx(如果存在)nnkn10三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:(1)第一类间断点设x是函数y=

7、f(x)的间断点。如果f(x)在间断点x处的左、右极限都存在,00则称x是f(x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为0可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四.闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a

8、,b]上有界。定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得f(ξ)=c推论:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号

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