高等数学(同济第七版)上册-知识点总结.docx

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1、高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较设limf(x)0,limg(x)0且limf(x)lg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，ex-1~x，ln(1

2、x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在≤hx准则2.（夹逼定理）设gx)≤fx))(((若limg(x)A,limh(x)A，则limf(x)A2．两个重要公式公式1limsinx1x0x公式2lim(1x)1/xex03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次1ex1xx2x3...xno(xn)2!3!n!sinxxx3x5...(1)nx2n1o(x2n1)3!5!(2n1)!cosx1x2x4...(1)nx2no(x

3、2n)2!4!2n!ln(1x)xx2x3...(1)n1xno(xn)23n(1x)1x(1)x2...(1)...((n1))xno(xn)2!n!arctanxxx3x5...(1)n1x2n1o(x2n1)352n15．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）limfx)0，limF(x0；()xx0xx0（2）f(x)与F(x)在x0的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）limf(x)f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)这个定理说明：当

4、limf(x)存在时，limf(x)也存在且等于limf(x)；当xx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)limf(x)为无穷大时，limf(x)也是无穷大．xx0F(x)xx0F(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）limf(x)，limF(x)；xx0xx0（2）f(x)与F(x)在x0的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）limf(x)存在（或为无穷大），则limf(x)limf(

5、x)xx0F(x)xx0F(x)xx0F(x)注：上述关于xx0时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须0先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；02（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式lim0f(x0x)f(x0)f'(x0)(如果存在）xx7.利用定积分定义求极限1基本格式limnnnk1

6、k1f(x)dx（如果存在）f()n0三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x0是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四．闭区间上连续函数的性质在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质

7、。这些性质以后都要用到。定理1．（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界。定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。定理3．（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得f(ξ)=c推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f(ξ)=0

8、这个推论也称为零点定理3第二章导数与微分一．基本概念1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。二．求导公式三．常见求导41.复合函数运算法2.由参数方程确定函数的运算法设x=(t)，(t)确定函数y=y(x)，其中'(t),'(t)存在，且'(t)，则dy'(t)y=