2015考研数学线性代数零基础入门讲义.pdf

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1、2015考研数学线性代数零基础入门讲义主讲：朱长龙朱长龙：朱长龙老师是中国科学院数学研究所博士，著名考研界青年专家，具有多年考研辅导与学习策划的经验。对数学教学有着深厚的探讨和研究，特别是近年来对考研数学的实际教学，已形成独特的教学方法和风格，学生都评价朱老师在亲切的讲解中引意出哲理，在计算的推理中开阔知识视野。目录第一讲行列式......................................................................................

2、.........................................1第二讲矩阵...................................................................................................................................7第三讲线性方程组................................................................

3、.....................................................18第一讲行列式【教学目的】理解行列式运算的定义，掌握并会运用通过化三角形行列式和按行（列）展开定理计算简单的数值型行列式。【教学重点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理【教学难点】求行列式某行（列）的余子式或代数余子式的和一、矩阵的概念与方阵定义由mn个数a(i,2,1,m;j,2,1,n)排成的m行n列的数表ijaaa11121naaa21222naaam1m2

4、mn称为m行n列矩阵,简称mn矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记为a11a12a1na21a22a2nA)1(aaam1m2mn这mn个数称为矩阵A的元素,a称为矩阵A的第i行第j列元素.一个mn矩阵A也ij可简记为AAmn(aij)mn或A(aij).特别地，当mn时，这个矩阵也叫n阶方阵，简记为A.n二、方阵的行列式运算定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作

5、

6、A

7、或detA.2注:方阵与行列式是两个不同的概念,n阶方阵是n个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.1三、n阶行列式的定义1.排列与逆序定义1由自然数,2,1,n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.定义2在一个n级排列(1ii2itisin)中，若数itis,则称数it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序

8、数,记为N(iii).12n根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n级排列1ii2in中,比it(t,2,1,n)大的且排在it前面的数由共有ti个,则ti的逆序的个数为ti,而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数.即nN(iii)tttt.12n12nii1定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.注：任何排列，每对换一次其中的两个元素，改变一次奇偶性。【例】计算排列32514的逆序数.【例】求排列n(n1)(n

9、)1321的逆序数,并讨论其奇偶性.2.n阶行列式的定义2定义4由n个元素ai,(j,2,1,n)组成的记号ija11a12a1na21a22a2nan1an2ann称为n阶行列式,其中横排称为行,竖排称为列,它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积a1j1a2j2anjn的代数和,各项的符号是:当该项各元素的行标按自然顺序排列后,若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号;是奇排列则取负号.即2aaa11121naaa21222n()1N(j1j2jn)aaa

10、1j12j2njnj1j2jnaaan1n2nn其中表示对所有n级排列j1j2jn求和.行列式有时也简记为det(aij)或

11、aij

12、，这j1j2jn里数a称为行列式的元素，称()1N(j1j2jn)aaa为行列式的一般项.ij1j12j2njn注:(1)n阶行列式是n!项的代数和,且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2)aaa的符号为()1N(j1j2jn)(不算元素本身所带的符号);1j12j2njn(3)一阶行列式

13、