不能只见“树木”，不见“森林”——运用等价转化思想解题出错根源初探

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1、教教案例点评不能只见“树木’’，不见“森林"——运用等价转化思想解题出错根源初探⑩山东省桓台县第一中学苏同安(特级教师)大家都清楚，任何事物都分门别类，融合于一个个大因为相切，所以A=O，得0=1．的体系之中，而且是互相联系、相互制约、互相促进、不断(但直观来看，不可能只有这一个发展的．同样，我们所面对的数学知识和思想方法，也是圆，因为若有了这个圆，如图2，应该还如此，有其生成、联系、发展的动态过程和融合于一个知有更多的圆．由此产生迷惑⋯⋯)D识体系的静态形式．所以，在解决某些数学问题时，对于评析：这种解法是否正确取决于相关的知识和思想方法，若不能做到从整体上有一

2、个较这种“相切”与“△=0”是否等价．图2为全面的认识和把握，而只是有一些表面的、局部的或零这里所用的“相切”等价于“△=0”来源于解决“直线散的认识，就会出现“只见树木，不见森林”的思维弊端，与圆锥曲线”相切问题时的“思想认识”．上述解法答案不难免会产生一些错误，甚至对产生的错误和问题还感到符合实际情况，所以，这种转化不是等价的!迷惑⋯⋯比如：在解答各类数学问题时，常常会有意或无看来这种“思想认识”只是一种“只见树木，不见森意地用到等价转化思想．但在转化的过程中，由于对所解林”式的片面认识形成的思维定势了．下面，分析一下用决问题涉及的知识内涵及所用思想方法的本质

3、认识不准这种思想认识在解决“圆与圆锥曲线”相切问题所产生的确或不到位——就像上面所述，只有一些只见“树木”，不“迷惑”的原因．见“森林”的认识，就会产生各类错误和问题．这里所说的先来看一下解决直线Ax+By+C=O与二次曲线+“森林”不仅仅是一些抽象的数学知识和思想方法的集byz+cx+dy+e：0相切问题时可以转化为“a=O”的原因．合，更多的是对知识和思想方法的生成、联系及发展背景实际上，分析两条曲线的交点个数，应该等价于分析的全面认识和在探究过程中一些深刻的体悟．它们的方程组的解的个数．而方程组中的直线方程“Ax+下面，结合具体题目探究一下运用转化思想解决数

4、By+c=0”使得相应的一元二次方程的“根”与方程组的学问题出现错误的类型和本源，同时也进一步认识数学知“解”构成“一一对应”的关系．所以，分析方程组的解的个识和思想方法的本质，体会“树木”与“森林”的内在联系．数等价于分析相应的一元二次方程的根的个数，这样就问题1一个酒杯轴截面的上部形状为抛物线的一有了“直线与圆锥曲线相切”等价于相应的一元二次方程部分．杯口直径为8cm，杯深为8cm．在酒杯中放入一个小的“zI=O”的思想方法．球使小球触及杯底，求小球的半径取值范围．但却不能把这种思想方法随意地“迁移”用来解决分析：解决此题可有不同的方法，其中一种是把问题“圆与

5、圆锥曲线相切”的问题．这是因为，即使相应的一元转化为圆与抛物线“相切”来求解，这样就有了下面的解二次方程有实根，也不能保证它们的方程组有解，因为方题过程．I程组的两个方程都是“二次”的，比如上述方程组：解析：如图1，建立直角坐标f，2一，，系，易得酒杯轴截面的上部所在{一’、得yz+(2—2a)y=0．方程yz+(2—2a)y=0中的【‘+tY—oJ(扩·的抛物线方程为：x2=2y．、0“负根”会使得方程组“无解”，即相应的一元二次方程的球的轴截面图为圆，触及杯底的球的截面圆的方程可设为“根”与方程组的“解”不能构成“一一对应”的关系，所以，(v—o)：图l△=0

6、只能保证相应的一元二次方程有相同的实根，并不问题转化为——圆在抛物线内部且与抛物线切于原点．能保证方程组有解．实际上，由此案例容易看出，一元二由【X2：2y次方程的一个“正根”会使得方程组有“两组解”⋯⋯)2一，得(2—2。)+(所以，对于此种问题，首先应该分析出一元二次方程；毒鼗誊中。?毒i：’7高中版材2013年12月案例点评法的根与方程组的解的准确关系，然后结合图形来逐步解的取值范围0≤y≤2；决．所以就有了如下正确的解法：所以得到+2y的取值范围为[0，12]正解：由条件，结合图形知：问题等价于抛物线=2y(解法2)因4+2y=3(+)+(—Y)，与圆+(

7、y—n)。=有一个公共点(0，O)，即方程组有一组所以+2y的取值范围为[2，10]．解，x=0，y=0．由+(2-2a)y=0得y=0或y=2a一2．评析：答案不一样，肯定至少有一个是错误的．此题要使得方程组只有一组解：=0，y=0．必须y=2a一2≤所涉及的式子变换所出现的错误虽然更加隐蔽。但我们0，得0≤1．所以，所求的球的半径的范围为(0，1]．(所求用等价转化的思想来逐“步”审视一下．便会发现．第一种球的半径的范围就符合实际情况了)解法所推出的与v的取值范围虽然是正确的．但与原来评析：上述的分析和纠错是回到本问题所涉及知识的不等式组是不等价的．也就是由0

8、≤≤2：0