不因题小而不为——一道全国高中数学联赛填空题的研究

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1、数在命题感悟2014年1月不因题小而不为——一道全国高中数学联赛填空题的研究⑧宁夏彭阳县第三中学王伯龙一问题的提出、系数关系得yly2=警z=b2．又由·=-p得：+题目(2013年全国高中数学联赛一试第2试题)在y：=，所以()+2p()却=0，解得=-p，因而有平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线Y：上，满足·=一4，腥抛物线的焦点，则s·s——y=一p2,于是．sOFA。S{ly~y21·lml=lmI．这虽是一道填空题，却别有洞天，它考查了平面向综上所述，结论成立．量、直线方程及其抛物线和三角形面积的运算等知识，试题不偏不怪，具有

2、创新性．同时“暗藏”着一定的潜在价当p=2，m=1时，SAOFA~So÷pIml=2，正好是赛题值，需要我们去探索发现、做进一步的研究．的结论．由特殊值法易得S△·SAo~=2，即△OFA与△OFB三、问题的进一步研究的面积之积是定值．这个定值显然是由条件·：一4来决定的，是一个特殊的结论，那么，对于一般情形是著名数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解否也有类似的定值结论呢?经过探究，便有如下更一般决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与的结论：研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这

3、个解答的理解水平．”二、问题的一般性结论他打比方说：“在你找到第一个蘑菇(或作出第一个发现)性质1在平面直角坐标系xOy中，点A，B在抛物线后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的．”由上面性质=(p>0)上，满足·=2F(m，0)是抛物线对称的证明过程我们不难得到如下的性质：轴上(不与坐标原点0重合)的一定点，则。陛质2在平面直角坐标系xOy中，点A，B在抛物线y=2p(p>0)上，满足·=_P：，则直线日过定点(p，SAOFA"S△0萨÷plm1．0)．证明：(Y)，B(x，Y)，若直线AB垂直于确时，证明：若直线AB垂直于轴时，设的方

4、程为：x=t，f=f1=，由性质1的证明过程知t-p，即直线AB：x=p，所以直线AB设AB的方程为：x=t，由方程组{l’解得{y~=2px，lyl=X／~，过定点(P，0)；若直线AB不垂直于轴时，B的方程为：{’一又由．-O-~=．_p2得xlxz+ytyz=-p2,所以tz-2pf+y=kx+b，由性质1的证明过程知=-p，所以直线4：y=【y2=一、／，()，故直线A过定点(p，0)．p=0，解得t=p，因而有Y一zP，于是综上所述，结论成立．SAOFA*S÷lYf2I=。设过点(p，0)的直线AB：x=ky+p交抛物线y~=2

5、p(p>若直线AB不垂直于轴时，设AB的方程为：y=kx+b，0)于A(Y)，B(Y)．fv=kx+b由方程组消去整理得一2py+2pb=O，由根与由{l+p’消去整理得一2p~y-2p2=0．所以V。=Zp，V=p。震中-7毒i：-?高中版坛2014年1月命题感悟线Yf2=一2p，，因而有。+，，=_p，即o-Z·-o-g=_p于：)，由方程组{y∥：：’消去得是我们有如下的结论：yzy=pX+X2，性质3在平面直角坐标7～~"NOn，"中，hA，B在抛物线()，2-yl21．①2p(p>0)上，则·=-p直线4B过定点(p，0)．将=

6、ylz，：=代入①式化简得=．~~o-Z·=Zp2,pZp性质4在平面直角坐标系Oy中，点A，B在抛物线y~=2px(p>0)上，满足0-7·=-p，点F是抛物线的焦叩，得阮+Yf2，又2=，所以z=-pz，解点，则ll·l商l，I赢l+l商1分别取到最小值为得一2p，于是==-p．故交点P的轨迹是定直线f：92，3p．—·证明：由性质3知，直线AB过定点(P，0)，设过点(P，性质6在平面直角坐标系中，点A，B在抛物线0)的直线AB：x=ky+p交抛物线)，2=2px(p>O)于(，Y)，=(p>0)上，满足·=叩，直线A曰交抛物线的对

7、IX=Ry+p．称轴于点，，船为抛物线的切线，则·用删·a(xz，y2)，Fh{。，=消去整理得一2#y一2p=0．所以、)二px’证明．如图2．由卜沐的证明Yf2=一zP22=／92,Yl+y2=2pk，Xl+2=2pk+2p．由于ll=1+可知，YlY2=一2p，又由性质5知，点'I赃直线=_P上，设P(，t)号，IF--~I=x2+2，所以j1．1商I=(+等)(X2+等)+P(t#O)，A(,Xl,y1)，B(x2，Y2)，易得＼0号(慨：)+等=号p≥，2，因而l1．1赢l的最小PA：yf=p(x+x1)，PB：y=Px+X2)

8、．于是，=P，罔：P，所图2值为pl赢l+JF-~l=x=3p+2#z≥，因而JJ+以蹦．馏：：一，又由性质2得点(p，0)，直线A是l商I的最小值为3p．TlY2z上面的一些结论是在条件才·