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时间:2017-12-07
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1、数在命题感悟2014年1月不因题小而不为——一道全国高中数学联赛填空题的研究⑧宁夏彭阳县第三中学王伯龙一问题的提出、系数关系得yly2=警z=b2.又由·=-p得:+题目(2013年全国高中数学联赛一试第2试题)在y:=,所以()+2p()却=0,解得=-p,因而有平面直角坐标系xOy中,点,在抛物线Y:上,满足·=一4,腥抛物线的焦点,则s·s——y=一p2,于是.sOFA。S{ly~y21·lml=lmI.这虽是一道填空题,却别有洞天,它考查了平面向综上所述,结论成立.量、直线方程及其抛物线和三角形面积的运算等知识,试题不偏不怪,具有
2、创新性.同时“暗藏”着一定的潜在价当p=2,m=1时,SAOFA~So÷pIml=2,正好是赛题值,需要我们去探索发现、做进一步的研究.的结论.由特殊值法易得S△·SAo~=2,即△OFA与△OFB三、问题的进一步研究的面积之积是定值.这个定值显然是由条件·:一4来决定的,是一个特殊的结论,那么,对于一般情形是著名数学教育家波利亚说过:“没有一道题是可以解否也有类似的定值结论呢?经过探究,便有如下更一般决得十全十美的,总剩下些工作要做,经过充分的探讨与的结论:研究,总会有点滴的发现,总能改进这个解答,而且在任何情况下,我们都能提高自己对这
3、个解答的理解水平.”二、问题的一般性结论他打比方说:“在你找到第一个蘑菇(或作出第一个发现)性质1在平面直角坐标系xOy中,点A,B在抛物线后,要环顾四周,因为它们总是成堆生长的.”由上面性质=(p>0)上,满足·=2F(m,0)是抛物线对称的证明过程我们不难得到如下的性质:轴上(不与坐标原点0重合)的一定点,则。陛质2在平面直角坐标系xOy中,点A,B在抛物线y=2p(p>0)上,满足·=_P:,则直线日过定点(p,SAOFA"S△0萨÷plm1.0).证明:(Y),B(x,Y),若直线AB垂直于确时,证明:若直线AB垂直于轴时,设的方
4、程为:x=t,f=f1=,由性质1的证明过程知t-p,即直线AB:x=p,所以直线AB设AB的方程为:x=t,由方程组{l’解得{y~=2px,lyl=X/~,过定点(P,0);若直线AB不垂直于轴时,B的方程为:{’一又由.-O-~=._p2得xlxz+ytyz=-p2,所以tz-2pf+y=kx+b,由性质1的证明过程知=-p,所以直线4:y=【y2=一、/,(),故直线A过定点(p,0).p=0,解得t=p,因而有Y一zP,于是综上所述,结论成立.SAOFA*S÷lYf2I=。设过点(p,0)的直线AB:x=ky+p交抛物线y~=2
5、p(p>若直线AB不垂直于轴时,设AB的方程为:y=kx+b,0)于A(Y),B(Y).fv=kx+b由方程组消去整理得一2py+2pb=O,由根与由{l+p’消去整理得一2p~y-2p2=0.所以V。=Zp,V=p。震中-7毒i:-?高中版坛2014年1月命题感悟线Yf2=一2p,,因而有。+,,=_p,即o-Z·-o-g=_p于:),由方程组{y∥::’消去得是我们有如下的结论:yzy=pX+X2,性质3在平面直角坐标7~~"NOn,"中,hA,B在抛物线(),2-yl21.①2p(p>0)上,则·=-p直线4B过定点(p,0).将=
6、ylz,:=代入①式化简得=.~~o-Z·=Zp2,pZp性质4在平面直角坐标系Oy中,点A,B在抛物线y~=2px(p>0)上,满足0-7·=-p,点F是抛物线的焦叩,得阮+Yf2,又2=,所以z=-pz,解点,则ll·l商l,I赢l+l商1分别取到最小值为得一2p,于是==-p.故交点P的轨迹是定直线f:92,3p.—·证明:由性质3知,直线AB过定点(P,0),设过点(P,性质6在平面直角坐标系中,点A,B在抛物线0)的直线AB:x=ky+p交抛物线),2=2px(p>O)于(,Y),=(p>0)上,满足·=叩,直线A曰交抛物线的对
7、IX=Ry+p.称轴于点,,船为抛物线的切线,则·用删·a(xz,y2),Fh{。,=消去整理得一2#y一2p=0.所以、)二px’证明.如图2.由卜沐的证明Yf2=一zP22=/92,Yl+y2=2pk,Xl+2=2pk+2p.由于ll=1+可知,YlY2=一2p,又由性质5知,点'I赃直线=_P上,设P(,t)号,IF--~I=x2+2,所以j1.1商I=(+等)(X2+等)+P(t#O),A(,Xl,y1),B(x2,Y2),易得\0号(慨:)+等=号p≥,2,因而l1.1赢l的最小PA:yf=p(x+x1),PB:y=Px+X2)
8、.于是,=P,罔:P,所图2值为pl赢l+JF-~l=x=3p+2#z≥,因而JJ+以蹦.馏::一,又由性质2得点(p,0),直线A是l商I的最小值为3p.TlY2z上面的一些结论是在条件才·
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